4.3. Вывод уравнения Лагранжа II рода.

Дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода в предположении, что связи, наложенные на систему, являются голономными, имеют вид:

где – обобщённые скорости, координаты, силы; T – кинетическая энергия всей системы; n – число степеней свободы.

Составим выражение для кинетической энергии наружной рамки карданова подвеса; эта рамка имеет одну степень свободы, и её кинетическая энергия

Проекции угловой скорости внутренней рамки карданова подвеса на её главные оси Ox, Oy и Oz равны и , и, следовательно, её кинетическая энергия

Проекции угловой скорости ротора на оси Ox, Oy и Oz равны и , и, следовательно, его кинетическая энергия

Кинетическая энергия всей системы, включающей в себя ротор и рамки карданова подвеса

Для гироскопа в кардановом подвесе уравнения Лагранжа имеют вид

где — обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам α, β и ϕ. Обобщенные силы выражаются через моменты сил относительно осей карданова подвеса следующим образом:

где M_y1 — главный момент всех внешних сил, действующих на систему вокруг оси O_y1; M_x, M_z - главные моменты сил, действующие на систему (ротор - внутренняя рамка) во­круг осей O_x, O_z.

Определим частную производную от выражения кинетической энергии:

и частную производную по координате ϕ

При составлении дифференциальных уравнений с помощью обобщенных уравнений Эйлера необходимо для согласования дифференциальных уравнений движения отдельных элементов системы определять моменты реакций связей между элементами.

В ряде случаев нахождение моментов реакции связей может оказаться достаточно сложным и связано с проникновением в физику явлений, происходящих при движении всех элементов системы.

Составлении дифференциальных уравнений движения сложной гироскопической системы с помощью второго мето­да Лагранжа не требует отыскания моментов реакции свя­зей и глубокого анализа физики явлений, происходящих при движении системы, а в основном сводится к выполнению ря­да формальных математических преобразовании.

Составление дифференциальных уравнений движения сложных гироскопических систем по методу Эйлера-Даламбера и по методу Лагранжа полезно при сравнении и контроле результатов, полученных с помощью обоих методов для одной и той же системы.

В практических приложениях обычно угловая скорость , с помощью специального двигателя поддерживается постоянной при условии, что двигатель ротора гироскопа уравновешивает момент сопротивлении вращению ротора (момент сил трения подшипников, момент сопротивления воздуха и др.) и, следовательно, М_z = 0.

При этом третье дифференциальное уравнение принимает вид и, следовательно,

дифференциальные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе по-прежнему будут

4.4. Примеры.

Пример 1. Силовой трехосный гиростабилизатор (ТГС).

Полагая, что математическая модель проектируемого ТГС предназначена для исследования его динамики, воспользуемся специальным алгоритмом.

При вычислении матрицы чувствительности будем исходить из того, что система обладает наибольшей чувствительностью на границе устойчивости.

Аппроксимируя машинные решения аналитическими формулами, получим, например, для переменных

Принимая в качестве основной характеристики процесса вектор декрементов затухания, получим

Вычисления значительно упрощаются, если матрицу заменить вектором , соответствующим доминирующей состав­ляющей переходных процессов ТГС.

Задаваясь допустимой величиной (относительная ошибка не более 5%) после исключения из уравнений членов, для которых

получим искомую математическую модель ТГС для исследова­ния его динамики:

Пример 2. Горизонткомпас.

Горизонткомпас – широко распространённый в судовой гироскопии прибор, предназначенный для одновременного определения плоскости истинного горизонта и плоскости географического меридиана. Его описание и уравнения приведены во многих работах. В работах показано, что прецессионные уравнения гиро- горизонткомпаса (ГГК) приемлемы для исследований этого при­бора. Однако даже в прецессионном плане эти уравнения оказываются довольно громоздкими и неудобными для исследований, как только в них учитываются даже некоторые из источников инструментальных погрешностей.

Уравнения движения ГГК, были получены методом Лагранжа с учетом отстояния индикатора коррекции (ИК) от точки подвеса стабилизированной площадки (ГСП), погрешностей установки гироскопов на гироплатформе и других инструментальных погрешностей элементов ГГК.

В рамках прецессионной теории эти уравнения с точностью до второго порядка малости имеют вид