4. Уравнения движения одноосного гиростабилизатора.

Гироскопический стабилизатор представляет собой электромеханическую систему, в состав которой входят кольца карданова подвеса, быстро вращающийся ротор, редуктор, двигатель стабилизации, усилитель и т.д. Для составления уравнений движения гиростабилизатора в качестве расчетной модели примем следующую. Будем считать конструкцию гиростабилизатора абсолютно жесткой, а все зацепления, подшипники и т.д.- идеальными. В таком случае система имеет конечное число степеней свободы, и уравнения движения могут быть составлены, например, методом Лагранжа.

Свяжем с неподвижным основанием систему координат , с внешним и внутренним кольцами соответственно системы координат , и , с ротором гироскопа - систему координат . Начала всех введенных систем координат находятся в точке О пересечения осей карданова подвеса. Оси и направим по оси вращения внешнего кольца, оси и по оси вращения кожуха, оси и по оси собственного вращения ротора. Положение колец и ротора гироскопа определим углами , , . Ориентация систем и последовательность поворотов определяются следующей схемой:

Здесь - угол поворота внешнего кольца относительно основания, - угол поворота кожуха относительно внешнего кольца, - угол поворота ротора относительно кожуха.

4.1. Кинетическая энергия системы.

Кинетическая энергия системы имеет вид:

где:

- момент инерции внешнего кольца относительно оси вращения,

- моменты инерции кожуха относительно главных осей инерции , , ;

и , - соответственно экваториальный и полярный моменты инерции ротора,

Θ - момент инерции двигателя стабилизации относительно его оси вращения,

- передаточное число редуктора.

Силовые гиростабилизаторы являются электромеханическими системами. Поэтому в систему дифференциальных уравнений, описывающих их поведение , следует включить и уравнение переходных процессов, протекающих в электрических цепях таких систем.

Предположим, что трение в оси вращения кожуха пренебрежимо мало, а момент сил сопротивления вращению ротора гироскопа компенсируется вращающим моментом.

4.2. Уравнения движения системы.

Тогда уравнения движения системы:

I - сила тока в цепи обратной связи;

- омическое сопротивление и индуктивность электрической цепи;

Ф - магнитный поток статора двигателя ;

С* - коэффициент противоэлектродвижущей силы;

V - напряжение на выходе усилителя, пропорциональное углу

, где - коэффициент усиления.

Уравнения движения системы (1) допускают при .

Частное решение:

соответствующее стационарному режиму, при котором внешнее кольцо сохраняет первоначальное положение относительно неподвижного основания, а кожух гироскопа повернут на угол, зависящий от величины внешнего дестабилизирующего момента.

Для исследования устойчивости стабилизатора рассмотрим уравнения возмущенного движения в окрестности стационарного режима.

Полагая в возмущенном движении:

получим систему уравнений

, где

- первый интеграл точных уравнений движения одноосного гироскопического стабилизатора, выражающий постоянство собственного кинетического момента гироскопа.

Характеристическое уравнение для системы (4) имеет вид:

где

Среди его корней есть корень .

Наличие этого корня обусловлено тем, что переменная входит в систему дифференциальных уравнений только своими производными и, следовательно, определяется с точностью до произвольной постоянной.

Найдем условия на параметры гиростабилизатора, при выполнении которых корни уравнения:

имеют отрицательные вещественные части.

В соответствии с критерием Гурвитца должны выполнятся неравенства:

Первое неравенство для гиростабилизатора выполняется всегда, а второе приводит к условию:

Формула (5) выражает условие устойчивости одноосного гироскопического стабилизатора.