- •Понятие мощности мн-ва.
- •7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
- •8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
- •9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
- •10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
- •11. Канторово множ и его свойства.
- •12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.
- •13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
- •14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
- •16. Измеримые функции. Свойства измеримых функций.
- •Вопрос 17.
- •18. Интеграл Римана. Теорема Лебега. Примеры.
- •19. Интеграл Лебега и его свойства.
- •20. Существ. Интеграла Лебега.
- •21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
- •22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
- •23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
- •24. Отображение метрических пространств.
- •25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
- •26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
- •27. Применение принципа сжимающих отображений.
- •28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.
- •29. Ортогональные системы.
- •30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
- •33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью
- •34. Уравнение свободных колебаний.
13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
Для простейших мн-в на прямой ([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]) меру можно определить как разность b-a. Проблема заключается в том, чтобы обобщить понятие меры на случай более широкого класса линейных мн-в, при этом необходимо соблюдать требования к понятию мера: 1)неотрицательность 2)аддитивность 3)инвариантность при движении. Будем рассматривать только класс ограниченных мн-в из отрезка [0,1]. Рассмотрим сначала мн-во G-открытое, оно представляет собой сумму конечного или счетного мн-ва интервалов, G-это сумма(объединение), следовательно, его меру (mG)можно найти как mG=∑mai. Если мн-во F замкнутое, то его меру легко определить как: mF=1-m(CF), CF-открытое, 1-мера [0,1]. Пусть задано произвольное мн-во E. Наша цель определить меру этого мн-ва. «Покроем» его конечной или счетной суммой интервалов длины которых обозначим αi. Очевидно, что∑αi=0, т.е. можно «покрывать» разными способами, но мн-во таких сумм ограниченное снизу по всевозможным покрытиям, т.е. сущ. точная нижняя граница: inf{∑αi }. Эта величина зависит только от мн-ва Е. Мы назовем её внешней мерой мн-ва Е и обозначим: inf{∑αi }=m*Е. Введем понятие внутренней меры мн-ва Е: m*Е=1- m*СЕ
Св-ва этих мер:
1° Учитывая опр. точной нижней границы: Для любого ε>0 сущ такое покрытие мн-ва Е системы интервалов, что m*Е≤∑αi<m*Е+ε
2° Внешняя и внутренняя меры мн-в не отрицательны (следует из опр.)
m*СЕ≤∑αi≤1, m*Е≥0
3° Связано с оценкой значений данных мер: внутренняя мере мн-ва Е не превосходит внешней меры мн-ва Е: m*Е≤m*Е. По 1° для мн-ва Е можно найти такое покрытие системами интервалов, что соответственно будут выполняться неравенства: ∑αi<m*Е+ ε и ∑βi<m*СЕ+ε. Сложим эти нер-ва: ∑αi+∑βi<m*Е+m*СЕ+2ε, т.к. суммарно окажется покрыт весь отрезок [0,1].
4° Если мн-во Е1 явл. подмн-ом мн-ва Е, то внешняя мера мн-ва Е1 не превосходит внешней меры мн-ва Е. m*Е1≤m*Е, и, анаголично, m*Е1≤m*Е. Док-во следует из того, что любое покрытие мн-ва Е будет так же и покрытием для мн-ва Е1. Второе нер-во доказывается по опр. внутренней меры и по опр. Дополнения
14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
Опр. Если внутренняя и внешняя меры мн-ва Е равны, то мн-во Е наз. измеримым мн-вом (по Лебегу), а их общее значение наз. мерой мн-ва Е (Лебега) и обозначается mЕ
Из опр. следует, что если мн-во Е измеримо, то измеримым будет и его дополнение при чем справедлива формула: mСЕ=1-mЕ.
m*СЕ=1-m*Е=1-mЕ (т.к. Е-измерима )
m*СЕ=1-m*Е=1-mЕ
m*СЕ=m*СЕ≥mСЕ
Нами док-но св-во: если измеримо мн-во, то измеримо и его дополнение.
Примеры измеримых множеств:
-
Все открытые и замкнутые мн-ва измеримы, т.к. опр. их меры сводится к частному опр. меры описанному выше. Например, канторово совершенное мн-во измеримо, т.к. оно замкнуто. И его мера mP0=0.
-
Если мн-во имеет внешнюю меру =0, то мера всего мн-ва =0
-
Всякое конечное мн-во измеримо и его мера =0. Пусть, мн-во Е-конечное, т.е. состоит из n-точек. Покроем это мн-во интервалами длина которых будет равна αi= ε/n, ε→0
-
Пустое мн-во измеримо и его мера =0. Т.к. пустое мн-во можно рассматривать как подмн-во любого мн-ва, в том числе и конечного. По св-вам мн-во Е измеримо, следовательно мера данного мн-ва данного мн-ва=0
-
Любое счетное мн-во измеримо и его мера =0. Так как мн-во счетное, то его можно расположить в последовательность {ζ1, ζ2,…,ζi,…}. Покроем всё это мн-во системой интервалов. Для любого ε>0, ε/2, ε/4, ε/8, ε/2n….
∑αi=ε/2+ε/4+ε/8+…+ε/2n+…= =ε(1/2+1/4+1/8+…+1/2n)= ε
Укажем без док-ва некоторое св-во измеримых мн-в: Если мн-во Е1 и Е2 измеримы, то измеримыми будут мн-ва: Е1∩Е2, Е1\Е2, Е1ƯЕ2. Если мн-ва Е1 и Е2 измеримы и не пересекаются, то объединение этих мн-в (мера) равна объединению этих мер: m(Е1ƯЕ2)=mЕ1Ưm Е2. Если мн-во Е1, Е2,…, Е n,… измеримы и попарно не пересекаются, то
m(Ư Еi) = ∑ mЕi
Сумма и пересечение счётного мн-ва измеримых мн-в измеримо. Это св-во выражается в рав-ве
m(Ư Еi)=∑mЕi – полная аддитивность меры Лебега