- •Понятие мощности мн-ва.
- •7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.
- •8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.
- •9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
- •10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
- •11. Канторово множ и его свойства.
- •12.Понятие о ф-ии с ограничен изменением. Понятие спрямляемой кривой.
- •13. Внешняя и внутренняя меры Лебега линейных множеств и их свойства.
- •14.Измеримые множ. Примеры множеств нулевой меры. Измеримость дополнения измеримого множ. Действия над измеримыми множ.
- •16. Измеримые функции. Свойства измеримых функций.
- •Вопрос 17.
- •18. Интеграл Римана. Теорема Лебега. Примеры.
- •19. Интеграл Лебега и его свойства.
- •20. Существ. Интеграла Лебега.
- •21. Интеграл Лебега и Римана.(сравнение)
- •22.Срезка неотр. Ф-ии и её св-ва. Суммируемые неотрицательные ф-ии. Суммир-ые ф-ии любого знака.
- •23. Сходящиеся и фундаментальные последовательн. Метрических пространствах и их связи. Полные метрические пространства.
- •24. Отображение метрических пространств.
- •25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
- •26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
- •27. Применение принципа сжимающих отображений.
- •28.Линейные нормированные и гильбертовы пространства. Пространство функций, суммируемых по Лебегу.
- •29. Ортогональные системы.
- •30. Ряд Фурье. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
- •33. Полнота ортогональной системы и ее связь с замкнутостью
- •34. Уравнение свободных колебаний.
9. Операции над открытыми и замкнутыми множествами.
Т.: Сумма любого числа открытых множ., есть множ. открытое.
Док. Пусть и каждое открыто. Тогда из совпадения множеств и следует совпадение множеств или . , откуда .
Каждое множество как дополнение к открытому множеству замкнуто, и произведение замкнутых множеств замкнуто. Отсюда замкнуто, а как дополнение к замкнутому множеству открыто.
Т.: Пересечение конечного числа открытых множ., есть множ. открытое.
Док. Пусть - открытые множества, - их пересечение. Тогда из совпадения множеств следует: , или .
Сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута; следовательно, замкнуто, а открыто. Случай, когдапусто, не рассматривается, так как тогда теорема, очевидно, верна.
На бесконечное число открытых множеств теорема не распространяется.
Пример (контр пример).
- замкнутое,
Следовательно если взять пересечение любого числа открытого множ., то итоговое множ-во может не оказаться открытым.
Т.: Сумма конечного числа замкнутых множ. есть множ. замкнутое.
Док. Пусть множ. - данные замкнутые множ., и пусть . Докажем замкнутость множ.. Всякая предельная точка множ. является предельной хотя бы для одного из множ. .
Так как есть предельная точка хотя бы для одного из множ , то, значит, благодаря замкнутости каждого из них она принадлежит тому множ, для которого она предельна, т.е. принадлежит и их сумме . Итак, всякая предельная точка множ принадлежит ему, и, следовательно, замкнуто.
Т.: Пересечение любого числа замкнутых множ. есть множ. замкнутое.
Док. Пусть дано какое угодно множ замкнутых множ , отличающихся друг от друга значком . Обозначим их пересечение через . Докажем, что множ замкнуто. Пусть - предельная точка множ . Тогда в любой окрестности имеются точки, принадлежащие любому множ . Следовательно, - предельная точка для любого . Так как суть множества замкнутые, то как предельная точка каждого из них, т.е. принадлежит их пересечению
10. Структура открытых, замкнутых и совершенных множ. На прямой.
Определим структуру замкнутого множества.
Т.: Всякое непустое ограниченное множество на прямой представляет собой отрезок, либо получается из некоторого отрезка путем удаления из него конечного или счетного множества попарно - пересекающихся интервалов концы которых не принадлежат множ. .
Док. Т.к. множ. огранич, то его можно включить в какой-то наименьщий отрезок , тогда если непусто, следовательно - замкнутое т.к. состоит из отрезков, т.е. утверждение теоремы верно.
Может быть случай, что не пусто, тогда , множество - открытое множ., а стр-ра открытого множ. это сумма конечного или счетного множ. интервалов описанных формулировки теоремы. Что и следовало доказать.
Замечание. В замкнутое множ. могут входить изолированные точки. Они получаются как общие концы 2-х интервалов из . Если множ. - совершенное, то в нем не может быть изолированных точек и его стр-ра может быть описана так же как стр-ра замкн-го множ. но с условием: Указанные в теореме нтервалы не имеют общих концов.