7. Классификация точек и мн-в в метр.Пр-ве.

О: Пусть дано нек.мн-во Е. . Неотриц.функция (х,у), ставящая в соотв-е любой паре Эл-тов х,у мн-ва Е некот.неотриц.действ.число, удовл-ее след.трем аксиомам: 1) =0  х=у (акс.тождества); 2) =(акс.симметрии); 3)

(акс.треугольника); наз-ся расстоянием во мн-ве Е (метрикой этого мн-ва). Мы будем рассматривать только лин.мн-ва, т.е. мн-во точек числ.прямой. метрика этого пр-ва .

О: Окр-тью точки х₀ наз-ся мн-во точек х метр.пр-ва, для кот выполн-ся условие: .

О: Точка наз-ся предельной точкой мн-ва Е, если в любой окр-ти точки х₀ содерж-ся хотя бы одна точка, отличная от х₀. Из опр-я ясно, если точка х₀ –предельная точка мн-ва Е, то в люб.окр-ти этой точки содерж-ся беск.много эл-тов из мн-ва Е.

О: Мн-во всех предельных точек мн-ва Е наз-ся производным мн-вом и обознач-ся Е^l.

О: Мн-во наз-ся замыканием мн-ва E.

О₁: Если , то Е наз-ся замкнутым.

О₂: Е наз-ся замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

О₃: Мн-во Е наз-ся замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

О: Точка х₀ наз-ся точкой прикосновения мн-ва Е, если в люб.окр-ти точки х₀ содер-ся хотя бы одна точка этого мн-ва. Любая пред.точка одновременно явл-ся точкой прикосн-я, но не наоборот. Точка прикосн-я м.б. либо предельной, либо изолир-ой.

О: Точка х₀ наз-ся внутр.точкой мн-ва, если она входит в это мн-во вместе с нек.своей окр-тью.

О: Мн-во Н наз-ся открытым, если любая точка этого мн-ва внутр-яя.

О: Мн-во Е наз-ся плотным в себе, если все его точки явл-ся пред-мя для мн-ва Е.

О: Мн-во Е наз-ся соверш-ым мн-вом, если оно одновр-но явл-ся замкнутым и плотным в себе.

Пример. . Не явл-ся открыт.мн-вом,т.к. т.с-изолир-я, а т.d и е не явл-ся внутр-ми. -мн-во всех пред.точек. Мн-во Е не явл-ся замкнутым, т.к. а и b не принадлежат мн-ву Е. -внутр.точки мн-ва, т.к. они входят в это мн-во вместе с нек.своей окр-тью. Мн-во Е не явл-ся плотным в себе, т.к. , но .

_{О: Пусть даны} 2 мн-ва А и В, причем В содерж-ся в А, тогда - наз-ся дополнением мн-ва В до А. Если мн-во замкнутое, то его дополнение – открытое. Если мн-во открытое, то его дополнение – замкнутое.

8 Связь между замкнутыми и открытыми множествами.

Т.: Если множество F замкнутое, то его дополнение открытое множество.

Док. Пусть , тогда (по определении дополнения), значит т.не является предельной точкой для множ. , т.к. - замкнутое и доложно содержать все свои предельные точки т.к. т. не явл. предельной, значит существует некоторая окрестность т.не сдержащая точек из , следовательно, т. является внутренней точкой множества , следовательно множ. открытое множество, т.к. все рассуждения можно было повторить для любой т.

Справедливо следующее заключение: Если множество открытое, то - замкнутое.

Док. Пусть . Тогда, так как -открытое, существует окрестность , целиком заполненная точками . Эта окрестность не содержит точек , а поэтому не может быть предельной для . Следовательно, ни одна предельная точка не принадлежит , и содержит все свои предельные точки, т.е. замкнутое.