- •Оглавление
- •Числовые выражения Свойства дробей
- •Основное свойство дроби
- •Действия с дробями
- •Линейные уравнения и системы линейных уравнений
- •Линейное уравнение с одной переменной
- •Системы линейных уравнений
- •Алгебраические выражения
- •Формулы сокращённого умножения
- •Тождественные преобразования рациональных выражений
- •Задания для решения
- •Квадратное уравнение и его корни
- •Задания для решения
- •Теорема Виета
- •Задания для решения
- •3.5. Уравнения, сводящиеся к квадратным
- •Задания для решения
- •Множества
- •4.1 Числовые множества
- •4.2 Операции над множествами
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Разность множеств
- •Задания для решения
- •Прямоугольная система координат
- •Прямоугольные координаты точки
- •Функции
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Функции
- •Задания для решения
- •6.3 Линейная функция
- •Задания для решения
- •6.4. Функции , ,
- •Задания для решения
- •6.5. График и свойства квадратичной функции
- •Задания для решения
- •6.6. Системы уравнений с двумя переменными
- •7. Показательная и логарифмическая функции
- •7.1 Показательная функция
- •Задания для решения
- •7.2 Показательные уравнения
- •7.3.Логарифмическая функция ,
- •Задания для решения
- •7.4. Показательные и логарифмические уравнения
- •Задания для решения
- •Геометрические фигуры на плоскости
- •Треугольники
- •Задания для решения
- •Четырёхугольники
- •Задания для решения
- •Окружность и круг
- •Задания для решения
- •9. Элементы тригонометрии
- •9.1 Таблица значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций
- •9.2 Графики тригонометрических функций
- •Задания для решения
- •9.3 Тригонометрические преобразования и уравнения
- •Задания для решения
- •Арифметическая и геометрическая прогрессии
- •10.1 Арифметическая прогрессия
- •10.2 Геометрическая прогрессия
- •Варианты заданий
Задания для решения
-
Постройте в одной системе координат графики функций , и .
Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.
-
Постройте в одной системе координат графики функций:
В какой точке находится вершина параболы? В какой точке парабола пересекает ось Oy?
-
Постройте график функции:
.
6.5. График и свойства квадратичной функции
– квадратичная функция
Квадратичную функцию можно задать формулой вида .
Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
.
Обозначим и . Получим
График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .
Ось симметрии параболы – прямая .
Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)
Пример 6. Построим график функции .
Решение. Выделим полный квадрат: парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5). |
Задания для решения
-
Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:
-
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
6.6. Системы уравнений с двумя переменными
Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.
Решение. x – первое число, y – второе число.
Нужно решить систему уравнений:
График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.
Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.
Рисунок 14.7
|
– корни уравнения . Найдём соответствующие значения переменной y:
Ответ: .
|
Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.
Рисунок 14.8 |
Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой . Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении. Ответ: 3 решения. |
7. Показательная и логарифмическая функции
7.1 Показательная функция
– число е.
экспонента.
Пример 1. Построим графики функций и по точкам.
|
|
||||||||||||||
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|||
y |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
|
y |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
0,25 |
Рисунок 15.1
Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..