10.2 Геометрическая прогрессия

– геометрическая прогрессия

– формула n-го члена геометрической прогрессии.

– первый член геометрической прогрессии,

– n-ый (энный) член геометрической прогрессии,

q – знаменатель геометрической прогрессии,

– сумма n первых членов геометрической прогрессии,

– формула для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Если – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 1. геометрическая прогрессия: первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,

, , .

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

.

Пример 2. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,

первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии, , .

сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Пример 3. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20, а сумма второго и четвёртого членов равна 60. Найти геометрическую прогрессию.

Решение. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20: . Сумма второго и четвёртого членов равна 60: .

Тогда , .

, .

– геометрическая прогрессия.◄

Задачи.

4. Разность между шестым и четвёртым членами геометрической прогрессии равна 216, а разность между третьим и первым членами равна 8. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.

5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен , а знаменатель равен .

6. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её первого и четвёртого членов равна 54, а сумма второго и третьего равна 36.

7. В геометрической прогрессии найдите

7. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если первый член равен 66, а сумма равна 110. ( Отв.: )

10. Варианты заданий

Вариант1

1. Найдите значение выражения:

а) ; б)

2. Найдите число b, если 30% от 30% числа b равны 7,2;

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции .

5. При каких значениях уравнение имеет 2 различных действительных корня?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений:

9. Решить уравнения:

9. Сторона ромба равна 17 см, а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали.

10. Решите уравнения.

а) ; б) .

9. В геометрической прогрессии третий член равен 15, а шестой равен 405. Найти четвёртый и пятый члены прогрессии.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Найдите число b, если 30% от 30% числа b равны 27.

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции . Укажите, где функция возрастает, убывает.

5. При каких значениях уравнение не имеет действительных корней?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений:

9. Решить уравнения:

10. Сторона ромба равна 17 см, а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите площадь ромба.

11. Решите уравнения.

11. Четыре числа составляют убывающую геометрическую прогрессию. Сумма первого и четвёртого равна 135, сумма второго и третьего равна 90. Найдите эти числа.

Вариант 3

1. Вычислите:

б) ;

2. Найдите число а, если 180% его составляют 45.

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции . Укажите, где функция возрастает, убывает.

5. При каких значениях уравнение не имеет действительных корней?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений:

9. Решить уравнения:

10. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата. Найти отношение площади четырёхугольника KLMN к площади квадрата.

11. Решите уравнения.

10. Четыре числа составляют убывающую геометрическую прогрессию. Сумма первого и четвёртого равна 135, сумма второго и третьего равна 90. Найдите эти числа.

Вариант 4

1. Вычислите:

б) ;

2. Найдите число b, если 30% от 30% числа b равны 27.

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции . Укажите, где функция возрастает, убывает?

5. При каких значениях уравнение имеет 2 одинаковых корня?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений:

9. Решить уравнения:

10. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 8, 10 и 10. Найти большее основание трапеции.

11. Решите уравнения.

а) ; б) .

10. В геометрической прогрессии третий член равен 15, а шестой равен 405. Найти четвёртый и пятый члены прогрессии.

Вариант 5

1. Вычислите:

б)

2. Что больше: 32% числа 52 или 3,2% числа 212?

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции . Укажите интервалы, в которых функция возрастает, убывает.

5. При каких значениях уравнение имеет 2 одинаковых корня?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений методом подстановки или методом алгебраического сложения:

9. Решить уравнения:

10. Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты 8 и 12. Найдите периметр параллелограмма.

11. Решите уравнения. Напишите название каждого уравнения.

а) ; б) .

10. Арифметическая прогрессия задана формулой . Найдите сумму членов прогрессии с одиннадцатого по двадцатый включительно.

Вариант 6

1. Вычислите:

а) ; б)

2. Найдите число b, если 37% от 15% числа b равны 2,22.

3. Упростите выражение:.

4. Постройте график функции . Укажите интервалы, в которых функция возрастает, убывает.

5. При каких значениях уравнение имеет 2 различных действительных корня?

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

7. Решите неравенства:

8. Решите систему уравнений:

9. Решите уравнения:

_.

10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.

11. Решите уравнения.

.

12. Первый и четвёртый члены арифметической прогрессии равны 2,2 и 1,8. Найти сумму первых её шести членов.

66