3. Алгебраические выражения

   1. Формулы сокращённого умножения

1. квадрат суммы a и b равен квадрату первого члена плюс удвоенное произведение первого члена на второй плюс квадрат второго члена;

2. квадрат разности a и b;

3. разность квадратов;

4. разность кубов;

5. сумма кубов;

6. куб суммы;

7. куб разности.

2. Тождественные преобразования рациональных выражений

Пример. Найдём и из тождества:

Приведём дроби к общему знаменателю:

Дроби и равны, их знаменатели равны. Значит, равны числители:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Пример 4. Выполним деление многочленов с остатком: .

Пример 5. Выполним деление многочленов без остатка:

Задания для решения

1. Упростите выражение:

2. Найдите и из тождества:

3. Выполните деление многочленов с остатком:

а) б)

4. Сократите дроби:

3. Квадратное уравнение и его корни

квадратное уравнение

приведённое квадратное уравнение,

Рассмотрим квадратное уравнение

Получим равносильное приведённое квадратное уравнение

Выделим полный квадрат:

Уравнения (1) и (2) имеют одинаковые корни.

дискриминант.

1. уравнение имеет 2 различных действительных корня.

(3) – формула корней квадратного уравнения.

то уравнение (2) принимает вид:

В этом случае уравнение (1) имеет два одинаковых корня

то уравнение

не имеет действительных корней.

квадратный трёхчлен.

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители вида:

,

корни уравнения

Задания для решения

1. Разложите квадратный трёхчлен на множители:

4. Теорема Виета

Теорема Виета: приведённое квадратное уравнение. Тогда сумма корней произведение корней

Доказательство: .

Если то уравнение имеет два корня:

Найдём сумму и произведение корней:

Задания для решения

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

3.5. Уравнения, сводящиеся к квадратным

биквадратное уравнение.

новая переменная.

Получим квадратное уравнение .

Пример 3. Решим биквадратное уравнение

новая переменная.

Получим квадратное уравнение

– корни квадратного уравнения,

– корни биквадратного уравнения.

Пример 4. Решим уравнение

ОДЗ: . (1)

Выполним умножение в знаменателях дробей и получим:

Введём новую переменную . Получим уравнение.

, (2)

ОДЗ: . (3)

Умножим уравнение (2) на . Получим

Корни этого уравнения удовлетворяют условиям (3). Значит,

или .

Уравнение не имеет корней.

Уравнение имеет корни , которые условиям (1). Значит, исходное уравнение имеет два корня:

Ответ: :

Задания для решения

1. Решите уравнение с помощью замены переменной:

8. Решите уравнение с помощью замены переменной:

4. Множества

4.1 Числовые множества

множество натуральных чисел

множество целых чисел

множество рациональных чисел.

множество иррациональных чисел.

множество действительных чисел.

, - отношения включения между множествами.

4.2 Операции над множествами

Рассмотрим множества:

множество B равно множеству C , т.к. B и C состоят из одинаковых элементов.

D подмножество A, т.к. элементы множества D принадлежат множеству A.

_ пустое множество.

Пустое множество _ не содержит элементов.