Формальные модели шифров.

Криптография защищает информацию с помощью шифрования, процедуры, исполняющей некоторое обратимое преобразование. При этом преобразовании открытого текста в шифрованный текст называется зашифрованием, а обратное преобразование - расшированием.

Шифрование предполагает наличие множества обратимых преобразований. Выбор преобразования из указанного множества для зашифрования данного сообщения осуществляется с помощью ключа. Имеется однозначное соответствие между множеством ключей и множеством преобразований. Выбор ключа естественным образом определяет функцию, вообще говоря многозначную, отображающую множество возможных открытых текстов во множество возможных шифрованных текстов. Способ вычисления значений этой функции для произвольного аргумента будем называть правилом зашифрования. Выбранный ключ будем называть ключом зашифрования. Требования однозначности расшифрования определяет обратную функцию, отображающую множество возможных (при выбранном ключе) шифрованных текстов в множество восстановленных открытых текстов. Способ вычисления значений этой функции для произвольного аргумента будем называть правилом расшифрования. Ключ, определяющий выбор правила расшифрования будем называть ключом расшифрования.

Формализуем сказанное.

Пусть - конечное множество возможных открытых текстов, ключей и шифрованных текстов соответственно;

- правило зашифрования на ключе .

Множество обозначим через , а множество обозначим через .

Пусть есть правило расшифрования на ключе , и - множество .

Будем предполагать, что представляется в виде , где - ключ зашифрования, - ключ расшифрования, причем . Тогдапонимается как функция , а - как .

Определение 1. Шифром (шифр-системой) назовем совокупность множеств , для которых выполняются следующие свойства:

1. Для любых и выполняется ;

2. .

Неформально шифр – совокупность множеств возможных открытых текстов, возможных ключей, возможных шифр-текстов, правил зашифрования и расшифрования.

Условие (1) отвечает требованию однозначности расшифрования.

Условие (2) означает, что любой элемент может быть представлен в виде для подходящих элементов и .

В общем случае, утверждение, что для любых и выполняется равенство , является неверным. Легко проверить, что из условия (1) следует свойство инъективности функции , т.е. если , причем , то .

Определение (1) вводит математическую модель, отражающую основные свойства реальных шифров. В связи с этим будем отождествлять реальный шифр с его моделью, которую будем называть алгебраической моделью шифра. Для подавляющего большинства известных шифров можно составить такую модель.

Введем вероятностную модель шифра.

Определим априорное распределение вероятностей на множествах и соответственно. Тем самым определена вероятность и определена вероятность . Причем выполняется следующее равенство , .

В тех случаях, когда нам требуется знание распределений и , мы будем пользоваться вероятностной моделью, состоящей из пяти множеств, связанных условиями (1) и (2) определения (1) и двух вероятностных распределений .

В большинстве случаев множества и представляют собой объединение декартовых степеней некоторых множеств и соответственно так, что бы для некоторых натуральных и имеем , . Множество и называют соответственно множеством алфавита открытого текста и шифрованного текста.

Введем шифр простой замены в алфавите открытого текста.

Определение 2. Пусть , , где - симметричная группа подстановок множества алфавита открытого текста. Для любого ключа , открытого текста и шифрованного текста правила зашифрования и расшифрования шифра простой замены в алфавите A определяется формулами:

(1)

где - подстановка, обратная к k.

В более общей ситуации для шифра простой замены , , причем , а K представляет собой множество биекций множества А на множество B.

Правила зашифрования и расшифрования определяются для , , и обратной к k биекцией формулами (1).

Определим еще один шифр, называемый шифром перестановки.

Определение 3. Пусть и пусть , где симметрическая группа подстановок множества . Для любого ключа k, открытого текста и шифрованного текста правила зашифрования и расшифрования определяются следующими формулами

где - подстановка обратная к k.

Шифры, введенные определениями 2 и 3, являются представителями класса симметричных шифров.

Рассмотрим пример ассиметричного шифра. Для этого рассмотрим определение шифра RSA.

Определение 4. Пусть , где и - простые числа. Пусть - кольцо вычетов по модулю . Положим , где - функция Эйлера.

Представим ключ в виде , где , а - ключи зашифрования и расшифрования соответственно. Тогда правила зашифрования и расшифрования шифра RSA определяется для и формулами

(2)

Корректность формулы (2) следует из малой теоремы Ферма.