Математическая модель шифра замены.

Определение: если фрагмент открытого текста (отдельные буквы или группы букв) заменяется некоторыми их эквивалентами в шифрованном тексте, то соответствующий шифр относится к классу шифров замены.

Определим модель произвольного шифра замены.

Будем считать, что открытый текст и шифрованный текст являются словами в алфавитах и соответственно.

обозначает множество слов конечной длины в алфавите .

Перед зашифрованием открытый текст предварительно представляется в виде последовательности подслов, называем шифр-величинами. При зашифровании шифр-величины заменяются некоторыми их эквивалентами в шифр-тексте, которые назовем шифр-обозначениями. Как шифр-величины, так и шифр-обозначения представляют собой слова множеств и соответственно.

Пусть множество - множество возможных шифр-величин. Множество - множество возможных шифр-обозначений. Эти множества должны быть такими, что любые тексты , можно было представить словами из множеств и соответственно.

Требования однозначности расшифрования влечет неравенство , ,.

Для определения правила зашифрования по ключу в общем случае потребуется ряд обозначений и понятия распределителя, которую будут выбирать в каждом такте шифрования замену соответствующей величине.

Поскольку множество можно представить в виде объединения непересекающихся и непустых подмножеств .

Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из разбиений множества шифр-обозначений и соответствующее семейство биекций, которые отображаются следующим образом , для которых .

Рассмотрим произвольное отображение , где такое, что (3)

Назовем последовательность распределителем, отвечающим данным знаниям .

Пусть ,

где

(4)

В качестве можно выбрать любой элемент . Всякий раз при шифровании этот выбор можно проводить случайно. Такая многозначность не препятствует расшифрованию, так как пересечение множеств шифр-обозначений , при

Виды шифров замены.

Если ключ расшифрования совпадает с ключом зашифрования, то такие шифры называются симметричными. Если ключ зашифрования не равен ключу расшифрования, то такие системы называют ассиметричными. В связи с этим различают симметричные и ассиметричные шифры замены.

Рассмотренное правило зашифрования является многозначной функцией. Выбор ее значения представляет собой некоторую проблему, которая делает многозначные функции не слишком удобными для их использования. Избавиться от этой проблемы позволяет использование однозначных функций, что приводит к естественному разделению всех шифров замены на многозначные (омофоны) и однозначные замены.

Для однозначных шифров замены справедливо свойство

Для многозначных шифров замены справедливо свойство

Примером шифра многозначной замены является шифр пропорциональной замены, примером шифра однозначной замены – шифр гаммирования.

Правило зашифрования можно рассматривать как отображение

В силу инъективности (по k) отображение и того, что , введение в общем случае отображения являются биекциями Число таких биекций не превосходит

Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования в формуле (4) включение можно заменить следующим правилом (4').

Если для некоторого числа выполняются включения то соответствующий шифр замены будем называть шифром равнозначной замены, в противном случае - шифром разнозначной замены.

В подавляющем случае используется шифр замены, для которого где р – длина слова. При говорят о поточных шифрах замены. При говорят о блочных шифрах замены. При шифр замены называют одноалфавитным шифром замены или простой замены, в противном случае – многоалфавитный шифр замены.