Вопрос 4

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью события В при условии что произошло событие А называется отношение вероятности произведения этих событий и вероятности А. Р_А(В) или Р(В\А).

Теорема Умножения для зависимых событий:

Если событие В зависит от события А, то вероятность того что произойдет событие В вычисляется по формуле Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В)

Теорема умножения для независимых переменных

Если появления события А не зависит от появления события В то вероятность их совместного появления вычисляется по формуле: Р(А иВ)=Р(А)*Р(В)

Вопрос 5

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из событий Н_1, Н₂, …,Н_п, образующих полную группу попарно независимых событий, равна сумме произведений вероятностей событий Н_1, Н₂, …,Н_п на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

формула Байеса или формула гипотез. Эта формула позволяет "пересмотреть" вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.

Вопрос 6

Повторные испытания: проводятся п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одинаковой вероятностью и является случайным.

формула Бернулли.

Вопрос 7. Повторные независимые испытания. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события. Повторными называются испытания, вероятность появления события А, в каждом из которых постоянное Р.

Вероятность непоявляющихся событий А обозначают буквой q=1-р.

Последовательность n-независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие А (успех) с вероятностью р проволить ему событие А (неудача) с вероятностью q, назыв схемой Бернулли.

Локальная теорема Лапласа.

Если число испытаний n>20, то для вычисления вероятности появления события А m-раз удобнее вычислять испытание локальной формулой Лапласа.

P_n(m* (х), где

(х)= * - локальная функция Лапласа.

Для удобства вычислений составляют таблицу данной функции. Поэтому достаточно вычислить х по формуле:

, и учитывая, что (х)- четная функция: (-х)=(х).

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что из n неизвестных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А=р, событие А поступит не менее m раз, и не более m₂ раз, приближенно равно.

P_n(m₁<m<m₂)= Φ(x₂) – Φ(x₂)/

Где Φ(x)= – функция Лапласа.

Вычислив х₁ и х₂ по формулам

х₁ =

x_{2 =}, учитывая что значение функции Лапласа можно найти в таблице приложения.

Вопрос 8. Повторные независимые испытания. Формула Пуассона.

В том случае, когда число n повторных независимых испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом из них близка к 0, то для вычисления вероятности появления события А m раз в этих испытаниях, используя формулу Пуассона:

P_n(m) = * , =np. Результат тем точнее, чем ближе к 20.