Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 1 2003.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
2.87 Mб
Скачать
  1. Применение формул комбинаторики.

Изученные нами приемы и формулы комбинаторики позволяют решать немало задач. При этом необходимо правильно определить вид выборки, о которой идет речь в той или иной задаче. Часто бывает полезно рассмотреть несколько конкретных комбинаций, соответствующих условию задачи, раскрыть их принадлежность к определенному типу выборок, а затем воспользоваться надлежащей формулой. Если в задаче фигурируют выборки разных видов, необходимо установить логическую связь между ними, характер математических закономерностей, которым они подчиняются. К сожалению, невозможно представить разнообразные ситуации одной схемой и дать универсальный ключ к решению любой комбинаторной задачи. Разберем здесь несколько конкретных задач.

Пример 7.1. Восемь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Если бы девушки стояли в ряд, то получилось бы 8!=40320 различных перестановок. Но так как они располагаются по кругу, то нельзя определить, какая девушка стоит первой, а какая последней, и одной перестановке в кругу отвечают 8 различных перестановок в ряд, которые получаются друг из друга путем вращения. Значит, для получения ответа число 40320 надо разделить на 8. Мы получаем 5040 различных перестановок в хороводе.

Пример 7.2. Между четырьмя игроками поровну распределяются 28 костей домино. Сколькими способами это можно сделать?

Приведем два способа рассуждения (которые, конечно, приводят к одному ответу).

Первый способ. Занумеруем игроков произвольным образом. Первый игрок может 7 костей выбрать способами (он не обязательно первый начинает выбирать кости, но с него мы начинаем строить выборки). Второму игроку приходится свою долю костей отбирать из 21 оставшейся кости. Это он может сделать способами. Аналогично, третий делает выбор способами, а четвертый получает то, что осталось (). По правилу произведения кости могут быть распределены = способами.

Второй способ рассуждения. Всего из 28 костей домино может быть образовано 28! перестановок. В каждой из конкретных перестановок первые 7 костей могут быть отданы одному игроку, следующие 7 – другому, затем 7 костей – третьему и 7 костей – четвертому. Но нам не важен порядок, в котором каждый из игроков получал кости, поэтому нужно 28! разделить на 7! четыре раза (разделить на число перестановок, которые могут быть образованы из костей, полученных каждым игроком). В итоге получаем ответ: способов.

Пример 7.3. На Всемирный фестиваль молодежи прибыли представители пяти континентов мира. Предлагается выбрать 8 представителей для участия в открытии фестиваля. Сколькими способами это можно сделать при условии участия в открытии представителей всех континентов?

Поскольку участвовать в открытии фестиваля должны обязательно 5 представителей всех континентов, то выбрать остается только трех представителей из пяти. Этот выбор может быть осуществлен, очевидно, с повторениями. Поэтому искомое число способов равно .

Пример 7.4. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?

Если бы в задаче не было дополнительного требования о выборе книг, задача решалась бы очень просто: из 12 книг выбрать 5 можно способами. Дополнительное ограничение, конечно, усложняет задачу.

Для подсчета искомого числа способов зашифруем каждый выбор книг последовательностью нулей и единиц. Каждой оставленной на месте книге сопоставим ноль, а каждой взятой – единицу. В результате получится последовательность из 5 единиц и 7 нулей. При этом никакие из взятых книг не должны стоять рядом, то есть в полученной последовательности не должно быть двух стоящих рядом единиц.

Попробуем построить такую последовательность. Расположим сначала 7 нулей в ряд и отметим звездочками места, на которые может быть поставлена одна единица: *0*0*0*0*0*0*0*. Очевидно, таких мест восемь. Поставить 5 единиц на отмеченные места можно =56 способами. Именно столько существует различных последовательностей из 7 нулей и 5 единиц, в которых никакие две единицы не стоят рядом.

Приведенные примеры, конечно, не охватывают всего многообразия способов рассуждения при решении комбинаторных задач, но они показывают, что при изучении данной темы необходимо самостоятельно логически рассуждать, искать пути и способы решения.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.