Глава 1. Основные понятия комбинаторики.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются задачи о том, сколько различных комбинаций (или выборок), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Принято считать, что комбинаторика возникла в XVI веке, когда в жизни привилегированных слоев общества большое распространение получили азартные игры и всевозможные лотереи. К азартным играм относили карты и кости (бросание шестигранных игральных кубиков). Слово «азар» по-арабски означает «трудный». Арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным образом. Например, при бросании двух костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или двенадцати очков. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Решались вопросы, сколькими способами можно получить данное число очков при игре в кости или некоторый набор карт в карточной игре, как часто выпадает выигрыш в той или иной лотерее. Эти и другие проблемы азартных игр и явились движущей силой в развитии комбинаторики.

Одним из первых занимался подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья (1500-1557). В XVII веке изучением теоретических вопросов комбинаторики занимались французские ученые Б. Паскаль (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665). Исходным пунктом их исследований тоже были проблемы азартных игр. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли (1654-705), Г. Лейбница (1646-1716) и Л. Эйлера (1707-1783). Однако и в работах этих математиков в основном рассматривались приложения к различным играм (лото, пасьянсы и т.д.). В дальнейшем комбинаторные методы играли значительную роль в развитии алгебры и геометрии.

В последние десятилетия комбинаторика активно развивается, она тесно связана с проблемами дискретной математики, линейного программирования, статистики. Ее методы широко используются при решении транспортных задач, для планирования производства и реализации продукции, для составления и декодирования шифров. Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, она помогает при решении задач этой теории осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов опыта или эксперимента в различных случаях.

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр или иных объектов. Начальнику надо распределить несколько видов работ между подчиненными, завучу школы – составить расписание уроков, ученому-химику – рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, филологу – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. При решении подобных задач мы каким-либо образом выбираем m элементов из общего числа n элементов некоторого множества E, при этом в постановке задачи четко оговариваем, каким способом составляется выборка.

Существует два принципиально различных способа выбора. В первом случае выбор осуществляется без повторения (или без возвращения) элементов. Это значит, что отбираются либо сразу все элементы, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества и не может быть выбран снова. Во втором случае выбор производится с повторением (или с возвращением), т.е. отбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество перед выбором следующего. При таком способе выбора один и тот же элемент может быть выбран несколько раз.

После того, как выбор осуществлен тем или иным способом, отобранные элементы могут быть либо упорядочены (т.е. выложены в последовательную цепочку), либо нет. Это зависит от условий конкретной задачи, которую мы решаем.

Таким образом, мы будем рассматривать различные задачи по выбору наудачу определенного числа элементов из заданного множества, т.е. определенных комбинаций с использованием соответствующих схем выбора. Изучение этих схем и составит основное содержание данной главы. Но сначала мы рассмотрим два общих правила, с помощью которых решаются задачи комбинаторики – правило суммы и правило произведения.