Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Плоскость в пространстве.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
433.66 Кб
Скачать

Пучки и связки плоскостей.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. (б.д.?)Если A1x+В1у+С1z+D1=0 и A2x+В2у+С2z+D2=0 уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а  и  - произвольные числа такие, что 2+20, то

(A1x+В1у+С1z+D1)+(A2x+В2у+С2z+D2)=0 (15)

уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (15) при некоторых  и .

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку М000;z0), называется связкой плоскостей (с центром в М0).

Уравнение связки с центром в точке М000;z0) имеет вид

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (16), где А2220

Прямая в пространстве.

  1. Общие уравнения прямой в пространстве.

Т.к. линия в пространстве задается как линия пересечения 2-х поверхностей, то прямая в пространстве может быть задана как пересечение 2-х плоскостей:

A1x+B1y+C1z+D1=0 (1) – общее уравнение прямой

A2x+B2y+C2z+D2=0

Прямая задается либо 2-мя точками, либо точкой и направлением.

  1. Канонические уравнения прямой.

Найдем уравнение прямой L, проходящей через точку М000;z0) параллельно вектору q=(l;m;n) - направляющий вектор прямой.

Пусть М(х;у;z) – переменная точка прямой. Тогда вектор М0М=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k || q=(l;m;n).

Учитывая условие параллельности векторов получаем:

(2) – каноническое уравнение прямой.

В канонических уравнениях (2) одно или два из чисел l,m и n могут быть равны нулю (все три не могут равняться нулю, т.к. вектор q={l,m,n} – ненулевой). Всякую пропорцию понимаем как равенство ad=cb. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Так, например, если l=0, то m0 и из равенства l(y-y0)=m(x-x0) х-х0=0, т.е. х=х1 – уравнение прямой, параллельной оси Ох.)

Если прямая задана своими общими уравнениями

A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)

A2x+B2y+C2z+D2=0,

то направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нормальных векторов n1={A1;B1;C1}, n2={A2;B2;C2}. Так что можно положить вектор q={l,m,n} равный векторному произведению векторов n1 и n2:

q=n1×n2={; - ; }={B1C2-B2C1;A2C1-A1C2;A1B2-A2B1}

Чтобы из общих уравнений (1) получить канонические уравнения (2), необходимо кроме направляющего вектора q найти хотя бы одну точку М000;z0), через которую проходит прямая.

Пример.

  1. Параметрические уравнения прямой.

Обозначим переменные для разного положения точки М, но равные друг другу отношения в уравнении (2) через t:

Преобразовав получаем параметрическое уравнение прямой:

tR (3)

Если принять параметр t за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (3) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью v= (такое движение происходит по инерции).

  1. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Даны две точки на прямой М111;z1) и М222;z2). Т.к. точка М1L, то ее координаты удовлетворяют каноническому уравнению этой прямой, т.е.

В качестве направляющего можно выбрать вектор

М1М2=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

Тогда получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(4)

Пример. Перевод из одного вида уравнения в другой.

Прямая проходит через точки А(2;-1;0) и В(0;2;1)

- каноническое уравнение.

- параметрическое уравнение.

- общие уравнения.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Для двух прямых в пространстве возможны 4 случая:

  • прямые совпадают;

  • прямые параллельны (но не совпадают);

  • прямые пересекаются;

  • прямые скрещиваются (т.е. не имеют общих точек и непараллельны).

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые L1 и L2 заданы своими каноническими уравнениями

L1: и L2:

с направляющими векторами: q1=(l1;m1;n1) и q2=(l2;m2;n2).

Угол между прямыми L1 и L2 может быть определен как угол между векторами s1 и s2, т.е. (L1^L2)=(q1^q2). Тогда

сosφ=, т.е. сosφ= (4)

Условие параллельности прямых в пространстве.

L1||L2 q1||q2 (5)

Условие перпендикулярности прямых в пространстве.

L1L2 q1q2 q1·q2=0 l1l2+m1m2+n1n2=0 (6)

Выберем на прямых L1 и L2 точки М111;z1) и М222;z2) соответственно. Тогда канонические уравнения будут иметь вид:

L1: и L2:

Если прямые L1 и L2 совпадают, то их направляющим векторам коллинеарен и вектор М1М2, т.е. (7)

Это двойное равенство означает, что точка М2L1. Следовательно, условием совпадения прямых является выполнения одновременно равенств (5) и (7).

Если прямые L1 и L2 пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлениарны, т.е. условие (5) нарушается.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.