- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •Плоскость в пространстве.
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
- •(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
- •Пучки и связки плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой.
- •Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Условие принадлежности прямой l к плоскости α.
- •Связка прямых.
Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
Рассмотрим произвольную плоскость . Проведем через начало координат О прямую n, Р=Ln – точка пересечения прямой n и плоскости . n –единичный вектор прямой n, его направление совпадает с направлением отрезка ОР (если точки О и Р совпадают, то направление вектора n выбирают произвольно).
Выразим уравнение плоскости через следующие параметры: длину р отрезка ОР и углы , и наклона вектора n к осям Ох, Оу и Оz соответственно.
Т.к. n – единичный вектор, то его координаты равны проекциям на оси координат: n={cos , cos , cos } (9)
Точка М(х,у,z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. при условии
прn=р (10)
Т.к. , то nпрn=прn=n (11)
n=х cos +у cos + z cos (12)
Из (10) и (12) следует, что точка М(х,у,z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению:
х cos +у cos + z cos =р или
х cos +у cos + z cos -р=0 (13)– нормированное (нормальное) уравнение прямой.
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 можно преобразовать в нормальное.
Если плоскость задана общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 и нормированным уравнением х cos +у cos + z cos -р=0, то найдется число t такое, что:
tА=cos , tB=cos , tC=cos , D= -p.
Возведя в квадрат первые три равенства и сложив их, получим: t2(A2+B2+С2)=1.
Тогда t=.
Т.к. всегда расстояние р0, то из равенства tD=-p заключаем, что знак t противоположен знаку D.
Т.о., для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормированному виду, следует умножить его на нормирующий множитель t=, знак которого противоположен знаку С.
Если D=0, то плоскость проходит через начало координат (р=0). В этом случае знак нормирующего множителя можно выбирать любым.
Отклонение точки от плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Даны плоскость и произвольная точка и точка М0(х0;у0;z0), не лежащая на ней. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М1(х1;у1;z1), пусть d=ρ(M0,L) – расстояние от точки М0 до плоскости . Тогда (рисунок)
ρ(M0,L)== (13) , т.к. =1.
Если плоскость задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0, то ее нормальный вектор имеет координаты {А;В;C}. В качестве единичного нормального вектора можно выбрать n=.
Т.к. М1(х1;у1;z1), то выполняется равенство Ax1+Ву1+Сz1+D=0.
={x0-x1;y0-y1;z0-z1}. Записывая скалярное произведение n в координатной форме, получаем:
ρ(M0,L)====
=
d=ρ(M0,Π)= (14)
Пример. Найти длину высоты треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин.
Найти расстояние между параллельными плоскостями.
Определение. Отклонением точки М0(х0;у0;z0) от плоскости называется число + d в случае, когда точка М0 и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости , и число –d, когда точки М0 и О лежат по одну сторону от плоскости .
Если начало координат О лежит на плоскости , то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М0 по ту сторону от , куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае.
Теорема. (с. 142) Пусть плоскость задана нормированным уравнением
х cos +у cos + z cos -р=0 (13). Тогда отклонение точки М0(х0;у0;z0) от плоскости , равно:
=х cos +у cos + z cos -р (14)
Формула (14) позволяет найти и расстояние от точки до плоскости.
Пример. Найти длину высоты пирамиды.