Добавил:
linker.pp.ua Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гавриленко - Распространение радиоволн в современных системах мобильной связи, 2003.pdf
Скачиваний:
96
Добавлен:
15.12.2018
Размер:
3.94 Mб
Скачать

представить в виде произведения поля источника в свободном пространстве на медленно меняющуюся функцию

A

=

Il

w(x, y, z, z

)eik1r

,

(3.118)

4π

1z

 

s

r

 

 

где w(x, y, z, zs) – функция ослабления.

Вычислим функцию ослабления для вертикального диполя, расположенного вблизи плоской границы раздела двух сред. Запишем выражение для вертикальной компоненты векторного потенциала

 

 

 

 

 

Il

 

 

 

eik1r

 

 

eik1r+

 

 

 

 

ei κ1 (z+zs ) J0 (k ρ)k dk

 

 

 

 

 

A1z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2ik1η

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(3.119)

 

 

4π

 

 

 

 

r

 

r

+

 

 

κ

1

(κ

1

+k η)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

полученное при условии

 

 

η

 

<<1 . Здесь η

– приведенный поверхностный импеданс

 

 

земной поверхности, κ

1

=

 

 

 

 

 

 

k2 k

2 ,

k

= k

ε . Преобразуем интеграл,

входящий в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражение для векторного потенциала, используя соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −i ei (κ1 +k1η)ζ .

 

 

 

 

 

 

 

(3.120)

 

 

 

 

 

 

κ

1

+ k η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате подстановки (3.120) в (3.119) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il

eik1r

 

 

 

 

 

 

eik1r+

 

 

 

 

∞ ∞ ei κ1 (z+zs +ζ )ei κ1ηζ J0 (k ρ)k dk d

ζ

 

A1z =

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

2k1η∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.121)

 

 

 

 

 

 

 

 

r+

 

 

 

 

 

κ1

 

 

 

 

4π r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл по k легко вычисляется

i κ

(z+z +ζ )

J0 (k ρ)k dk

 

 

 

e

ik

 

ρ2

+

(z+z +ζ )2

 

 

 

 

 

e

 

1

 

s

 

= −i

 

 

1

 

 

 

s

 

 

.

 

(3.122)

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ2 + (z + zs +ζ )2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

κ1

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik r

 

ik r

 

 

 

i κ1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il

 

 

 

 

e

ηζ

+ ρ

 

+(z+zs +ζ )

 

 

 

A

 

=

e

1

+ e

1 +

+ 2ik η

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.123)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4π r

 

r+

 

 

 

ρ +

(z + zs +ζ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим важный для радиосвязи частный случай z = zs = 0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

Il

 

 

 

 

 

ik r

eik1ηζ eik1 ρ2 +ζ 2 eik1ρ

 

 

 

A1z

=

 

2

+

2ik1ηρ e

1

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

.

 

(3.124)

4π

 

 

ρ

+ζ

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, выражение для функции ослабления имеет вид

ik ηζ

 

ik

1

ρ2 +ζ 2

.

 

w(ρ)= 2 + 2ik1ηρ eik1r e

1

e

 

 

 

(3.125)

 

 

2

+ζ

2

0

 

ρ

 

 

 

 

Проанализируем полученную формулу. Фаза подынтегральной функции определяется выражением

ϕ = k1 [ηζ + ρ2 +ζ 2 ].

(3.126)

Точка стационарной фазы ζ0 определяется из условия [13]

 

ϕ

 

= 0 ,

 

(3.127)

 

 

ζ

 

 

 

ζ =ζ0

 

 

 

откуда следует, что

 

η

 

 

 

 

 

 

ζ0

 

= −

ρ .

(3.128)

 

1

η2

 

При условии η <<1 точка стационарной фазы лежит вне интервала интегрирования

вблизи нижнего предела. Следовательно, основной вклад в интеграл дает небольшая окрестность вблизи точки ζ = 0 . Разлагая подынтегральную функцию вряд в окрест-

ности точки ζ = 0 , получаем

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ζ 2

 

 

eik1 ρ

+ζ

eik1ρ

eik1

 

 

,

 

(3.129)

2 ρ

 

ρ2 +ζ

2

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

1

η+

ζ

ζ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w(ρ)= 2 + 2ik1ηe

 

2

ρ .

 

(3.130)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем новую переменную интегрирования u =

 

 

k1

(ζ +ηρ). В результате замены по-

лучаем

 

 

 

 

 

 

 

2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

ρη2

 

 

 

w(ρ)= 2 + 2i η

2k1 ρ ei

1

 

 

 

eiu 2 du .

(3.131)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1ρ

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение (3.131) будет исходным для анализа функции ослабления. Будем

далее полагать, что ε =1, а ε

2

= ε + i

σ

. Здесь ε и σ – относительная диэлектриче-

 

1

ωε0

 

 

 

 

ская проницаемость и удельная проводимость почвы. Заметим, что в полученном выражении фигурирует безразмерный параметр, который принято называть численным расстоянием

ρs =

ik 0 ρ

.

(3.132)

 

 

2ε2

 

При распространении радиоволн над земной поверхностью часто реализуется условие σ /ωε0 >> ε , тогда ε2 i σ /ωε0 и численное расстояние становится действительной величиной

 

 

ρs =

k2

ρ

.

(3.133)

 

 

0

 

 

 

2σZ0

 

 

 

 

 

Здесь Z = µ0

– характеристический импеданс свободного пространства.

 

0

ε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим поведение функции ослабления при малых численных расстояниях, т.е. при условии ρs <<1. В этом случае нижний предел интегрирования в выражении (3.131) мал и приближенно можно считать, что

 

1

 

 

eiu 2

du eiu 2 du =

i π .

(3.134)

k1ρ

η

0

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда выражение для функции ослабления принимает вид

w(ρ)= 2(1 +i πρs ).

(3.135)

При малых численных расстояниях ( ρs <<1) w(ρ)2 , т.е. амплитуда поля убывает с

расстоянием по закону 1ρ , так же, как в свободном пространстве. Поле вертикаль-

ного электрического диполя вблизи земной поверхности при этом удваивается по сравнению со случаем свободного пространства. Таким образом, при малых численных расстояниях земная поверхность эквивалентна идеально проводящему полупространству.

При больших численных расстояниях ( ρs >>1) входящий в выражение для функции ослабления интеграл удобно взять по частям. В результате получаем

1

 

 

 

 

1

 

 

 

exp(iu 2 )du = −

eia

2

 

 

 

 

 

1

+

 

 

+... ,

(3.136)

2ia

 

2ia

2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a =

k0 ρ . Используя (3.136), перепишем выражение для функции ослабления

 

2ε2

w 2

2 ρ

s

1

 

1 +

1

 

,

(3.137)

 

 

 

ρs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ρs

 

 

Окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w ≈ −

1

.

 

 

 

 

 

(3.138)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρs

 

 

 

 

 

 

Выражение (3.138) для функции ослабления справедливо при больших значениях численного расстояния, т.е. при условии

ρs

 

>>1.

(3.139)

 

Таким образом, результаты анализа показывают, что при больших численных расстояниях поле убывает по закону 1/ ρ2 , т.е. гораздо быстрее, чем в свободном про-

странстве.

Принципиально важным является вопрос о скорости распространения радиоволн вдоль земной поверхности. Отметим, что в общем случае функция ослабления является комплексной величиной и может быть представлена в виде

w(ρ)=

 

w(ρ)

 

exp(i α(ρ)),

(3.140)

 

 

где α(ρ) – аргумент функции ослабления. С учетом (3.140) фаза волны, распространяющейся вдоль земной поверхности, может быть записана в виде

ϕ(ρ,t )= k0 ρ ωt +α(ρ).

(3.141)

Следовательно, фазовая скорость определяется следующим выражением:

v =

= −

ϕ / t

=

ω

ϕ / ρ

k0 + dα dρ

dt

 

 

При больших значениях численного расстояния

w = −

1

=

2i ε2

,

ρs

 

 

 

 

k0 ρ

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

σω

α =

 

 

 

 

 

 

2

+ arctg

εε0

 

 

 

 

=

 

 

c

 

 

.

1 +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

k0

.

(3.142)

(3.143)

(3.144)

Из (3.144) следует, что α не зависит от расстояния ρ . Это означает, что при больших

численных расстояниях фазовая скорость не зависит от электрических свойств земной поверхности и равна скорости света в вакууме.

3.3.4. Потери при распространении радиоволн над плоской поверхностью Земли

При распространении радиоволн в пригородной зоне на свободных от строений пространствах для расчета радиотрасс могут быть использованы так называемые отражательные формулы, согласно которым электромагнитное поле в точке приема может быть представлено в виде суммы прямой волны и волны, отраженной от поверхности Земли,

 

 

E = E

0

1 + R2

+ 2R cos(2kz cosϑ +ψ ),

 

(3.145)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

=

 

90PT

sinϑ ,

 

R =

ε cosϑ

ε cos2 ϑ

,

(3.146)

 

 

 

d

 

ε cosϑ +

ε cos2 ϑ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PT – излучаемая мощность,

d – расстояние между передающей и приемной антенна-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ми, измеряемое вдоль поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Земли,

R – коэффициент отраже-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния Френеля плоской волны от

 

z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

земной

поверхности, ε

– ком-

 

ϑ

ϑ

 

 

 

 

z2

плексная диэлектрическая

прони-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цаемость Земли, ϑ – угол падения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

волны (рис. 3.10). На практике

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

часто высоты подъема передаю-

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

щей и

приемной антенн

удовле-

 

 

Рис. 3.10

 

 

 

 

 

 

 

творяют соотношению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z1z2

 

<< d ,

 

 

(3.147)

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда с учетом направленных свойств антенн вместо (3.145) имеем

 

 

 

 

 

 

 

E = 4π

60PTGTGR z1z2 .

 

 

(3.148)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

Выражение (3.148) известно как квадратичная формула Введенского [14].

Для оценки принимаемой мощности можно воспользоваться следующими соотношениями. Мощность на входе приемной антенны, расположенной вблизи земной поверхности, может быть представлена в виде

P

= P

 

1 exp(ik r )

 

2 ,

(3.149)

 

 

r

r 0

 

 

 

 

 

где r – разность хода между прямой и отраженной от земной поверхности волнами. Если высоты расположения антенн удовлетворяют условию (3.147), то

r =

(z

+ z )2

+ d2

(z

z )2

+ d2

2z1z2 .

(3.150)

 

1

2

 

 

1

2

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.