9.4. Интерполирование по однократным узлам многочленами Ньютона

Рассмотрим иное представление интерполяционного многочлена в задаче интерполирования по однократным узлам x₀, x₁ , ... , x_n .

Разделёнными разностями (разностными отношениями) по узлам интерполирования x₀, x₁ ,..., x_n порядка 1, 2, 3, …, n называют следующие отношения величин:

f(x₁, x₀) = (у₁ - у₀)/( x₁ - x₀ );

f(x₂, x₁, x₀) = (f(x₂, x₁) - f(x₁, x₀))/( x₂ - x₀ );

f(x₃, x₂, x₁, x₀) = (f(x₃ ,x₂, x₁) - f(x₂, x₁, x₀))/( x₃ - x₀ );

. . .

f(x_n, . . . , x₀) = (f(x_n , . . ., x₁) - f(x_n-1, . . ., x₀))/(x_n - x₀ ).

C помощью разделённых разностей, которые являются некоторыми постоянными величинами, рассчитываемыми по значениям x_i , у_i ( i = 0,1 , ... ,n), многочлен можно представить в следующем виде:

L^N_n (x) = у₀ + (x - x₀ )f(x₁, x₀) + (x- x₀ )(x- x₁ ) f(x₂, x₁, x₀) + . . .+ (x - x₀)(x- x₁) . . .  (x - x_n-1 ) f(x_n, . . . , x₀). (9.17)

Формула (9.17) называется интерполяционным многочленом Ньютона.

Многочлен степени n содержит n слагаемых, в которых максимальная степень x равна 0,1,2,...,(n-1). Непосредственное полное вычисление каждого слагаемого со степенью х равной i (i =1,...,n-1) требует выполнения i вычитаний и (i -1) умножение. Если просуммировать данные числа по i от 1 до (n-1) и прибавить к ним (n-1) сложение, то в результате получим, что для вычисления одного значения интерполяционного многочлена Ньютона степени n требуется примерно (n+1)²/2 сложений и вычитаний и примерно (n+1)²/2 умножений. Эти числа в два раза меньше, чем при полном расчете полиномов Лагранжа, однако сложность расчета тоже квадратичная по числу узлов (n+1) - О((n+1)²).

Для ее снижения можно использовать пересчет многочленов p_i(x), в подряд стоящих слагаемых: p_i+1(x)= p_i(x)(x-x_i). При этом для расчета формулы (9.17) потребуется примерно: 2(n+1) умножений, 2(n+1) сложений и вычитаний - только в раза выше, чем при использовании схемы Горнера у канонических многочленов. Сложность вычисления линейная по числу узлов - О((n+1)¹).

В тех случаях, когда целью построения является каноническая форма интерполирующего многочлена, наименьшее число операций затрачивается при использовании в качестве промежуточного решения интерполяционного многочлена Ньютона.

Пример 1. Для задачи из примера 1 п.9.3 построить разделённые разности и интерполяционный многочлен Ньютона.

Решение. Рассчитаем разделённые разности :

f(x₁, x₀) = (у₁ - у₀)/( x₁ - x₀ )=(1-(-2))/(2-(-1)) = 1;

f(x₂, x₁) = (у₂ - у₁)/( x₂ - x₁ )=(5-1)/(4-2) = 2;

f(x₂,x₁,x₀)=(f(x₂, x₁) - f(x₁,x₀))/(x₂-x₀)=(2–1)/(4-(-1)) = 1 / 5.

Искомый многочлен Ньютона строим по формуле (9.17):

L^N₂(x)= у₀+(x - x₀ ) f(x₁,x₀) + (x- x₀ )(x- x₁) f(x₂,x₁,x₀) = - 2 +( x+1) + (x+1)(x-2)/5.

Наряду с одномерными задачами решаются задачи интерполирования для функциональных зависимостей и с большими числами независимых переменных. Например, в машинной графике функции с двумя независимыми параметрами используют для интерполирования поверхностей.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие отношения называют разделёнными разностями (или разностными отношениями) ?

2. Как строится интерполяционный многочлен Ньютона ?

3. Какова трудоемкость и сложность расчета значений интерполяционного многочлена Ньютона при полном расчете по формуле (9.17) и при сокращенном расчете?

Практические задания.

1. Найти разделённые разности и построить интерполяционные полиномы Ньютона для следующих вариантов однократных узлов:

а) n = 2; х₀ = 0 ; х₁ = 2 ; х₂ = 4 ;

у(х₀) = - 1 ; у (х₁) = 3 ; у(х₂) = - 2 ;

б) n = 3; х₀ = -3 ; х₁ = -1 ; х₂ =1 ; х₃ = 3 ;

у(х₀) = -5 ; у (х₁) = 5 ; у(х₂) = - 1 ; у(х₃) = 3 .