9.3. Интерполирование по однократным узлам. Интерполяционные многочлены Лагранжа
Рассмотрим случай, когда требуется обеспечить прохождение алгебраической кривой через заданные точки P0=(x0,y0), P1=(x1,y1),...,Pn= (xn,,yn), (условия типа 1 в общей постановке задачи узлового интерполирования). На производные в данных точках никаких условий не накладывается. Узлы этого типа называют однократными, поскольку в них задано одно геометрическое условие. Такая задача на практике возникает в тех случаях, когда 1) требуется провести степенную кривую через набор точек либо 2) заменить функцию f(х) произвольного вида степенной Р(х) при заданных положениях абсцисс её узлов x0, x1 ,..., xn .
В математической форме задачу интерполирования по однократным узлам можно сформулировать следующим образом. В узлах xi , (i = 0,1 ,...,n; xi xj при i j) заданы значения у(xi)=уi. Требуется построить полином Р(x) минимально возможной степени, для которого Р( xi) = уi , (i = 0,1 ,...,n).
Решение задачи существует и единственно, хотя сам многочлен может быть представлен в разных видах. Наряду с каноническим представлением (9.6) в задаче интерполирования по однократным узлам он может быть представлен в виде полиномов Лагранжа и Ньютона.
Так как общее число геометрических условий в задаче равно n+1, то искомый интерполяционный полином имеет степень не выше n (при этом число его неизвестных коэффициентов C0, C1, …, Cn равно n+1). Примеры, в которых степень полинома меньше расчётной, рассмотрены в п.9.2.
В явных решениях задачи используется полином (х), принимающий однократные нулевые значения только в узлах интерполирования x0, x1 ,..., xn и имеющий единичный коэффициент при старшей степени х. Его можно представить в виде: (х) = (x-x0) (x- x1) ... (x- xn ).
Используя
правило дифференцирования произведения,
можно показать, что
При подстановке в производную узловой точки xi все слагаемые кроме i-го обнуляются и получается произведение, в котором отсутствует i-тый сомножитель:
( xi) = (xi -x0) ( xi - x1) ... ( xi - xi-1 ) (xi - xi+1) … (xi - xn).
Рассмотрим явное решение Лагранжа задачи интерполирования по однократным узлам. В основе его лежит использование функций Лагранжа Фi(x) (i = 0,1,...,n), которые выделяют соответствующий узел:
Построение каждой функции Фi(x) можно представить следующим образом. Полином, принимающий нулевые значения в узлах x0, x1,..., xi-1, xi+1,… xn и имеющий единичный коэффициент при старшей степени имеет вид:
(х)/(x-xi) = (x-x0) (x - x1) ... (x - xi-1 ) (x - xi+1) … (x - xn).
В узле х=xi значение его равно некоторой ненулевой константе: ( xi) = (xi -x0) (xi - x1) ... (xi - xi-1) (xi - xi+1) … (xi - xn), которая в общем случае может принять любое ненулевое значение (как по величине так и по знаку). Для того, чтобы искомая функция в узле х=xi стала равной единице, необходимо (х)/(x-xi) разделить на ( xi):
(9.10)
Полученные функции Лагранжа Фi(x) (9.10) обладают всеми требуемыми свойствами. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:
(9.11)
Выражение (9.11) в векторной форме можно представить как скалярное произведение:
L n (x)=(Ф(х),Y), (9.12)
где Y=( y0 , y1 , . . . , yn) ; Ф(х) = (Ф0 (х) , Ф1 (х) , . . . , Фn (х) ).
Рассмотрим простейший случай интерполирования на отрезке [x0, x1]. В его граничных точках заданы по одному геометрическому условию: у(x0) = у0 , у(x1) = у1. Наименьшая степень полинома S(x) равна единице. Явное решение для S(x) даёт следующий многочлен Лагранжа:
S(x)= у0(x1 –x)/(x1 -x0) + у1(x-x0)/(x1 -x0 ). (9.13)
В векторной форме:
S(x) = (Ф(x),Y); (9.14)
гдеФ(x) = ( (x1–x)/(x1-x0), (x-x0)/(x1-x0 )); Y= (у0, у1).
Переходя к безразмерной нормированной переменной t=(x-x0)/(x1-x0), у которой t(x0)=0; t(x1)=1, получим более простые выражения для функций Лагранжа: Ф1(t)=1-t; Ф2(t) = t. Введём также векторT 1 степеней t порядка 1 и матрицу МЛ, задающую переход отT 1 к вектору значений функций Лагранжа (Ф1 (t); Ф2 (t)):
П
ри
этом вектор значений функций Лагранжа
и полином S(t)
можно
представить в виде:
(9.15)
Данное представление помогает унифицировать интерполяцию кривой отрезком прямой на произвольном интервале и используется при сплайновом интерполировании.
Для уменьшения трудоемкости расчета значений полинома Лагранжа в слагаемых формулы (9.11) выделим постоянные сомножители, которые обозначим i:
(9.16а)
При этом формула (9.11) принимает вид:
(9.16б)
Непосредственный расчет одного слагаемого в формуле (9.16б) требует выполнения n вычитаний и n умножений. Вычисление всех (n +1) слагаемых и их суммирование требует в сумме примерно (n+1)2 сложений и вычитаний, а также примерно (n+1)2 умножений. Сложность такого вычисления квадратичная по числу узлов - О((n +1)2).
Однако если использовать пересчет произведений в подряд стоящих слагаемых:
то для полного расчета формулы (9.16б) потребуется примерно: 3(n+1) умножений, 4(n+1) сложений и вычитаний, (n+1) делений. Сложность такого вычисления линейная по числу узлов - О((n+1)1).
Для еще большего снижения трудоемкости расчета значений полинома Лагранжа можно привести его к каноническому виду и вычислять по схеме Горнера, затрачивая примерно (n+1) умножений и (n+1) сложений. Полученный в результате полином канонического вида совпадает с решением, получаемым по методу неопределенных коэффициентов. Но при этом алгоритм его определения упрощается.
Пример 1. На множестве однократных узлов x0= -1; x1 = 2; x2 =4 заданы значения функции у(x): у(x0) = у0 = - 2; у(x1) = у1 = 1; у(x2) = у2 = 5. Построить функции, многочлен Лагранжа и привести его к каноническому виду.
Решение. Вспомогательный полином (х) имеет вид :
(х)= (x-x0)(x- x1)(x- x2 )= (x+1)(x-2)(x-4 ).
Функции Лагранжа строим по формуле (9.10):
Многочлен Лагранжа строим по формуле (9.11):
В векторной форме: L2 (x)=(Ф(х),Y), гдеФ(х) = (Ф0(х) , Ф1 (х), Ф2(х))=
Y
= (
y0
,
y1
,
y2)
= ( -2 , 1 , 5).
В полученном скалярном выражении для L2(x) раскрываем все произведения и после приведения членов получим канонический вид решения:
L2(x) = - 2(x2-6x+8)/15 - (x2-3x-4)/6+(x2 - x-2)/2 =
= 0,2x2[-2/15-1/6+1/2]+x[12/15+3/6-1/2]+[-16/15+4/6-2/2] = 0,2x2 + 0,8x -1,4.
При интерполировании большого числа (n+1) узловых точек единым полиномом Ln(x) его значения на промежутках между узлами сильно отклоняются от значений в самих узлах. Данное явление называют осцилляцией интерполирующего полинома. Полиномы такого вида, как правило, недопустимы в практических приложениях, поскольку требуется построить кривую, плавно соединяющую узловые точки. Поэтому в таких случаях применяют другие методы приближения.
Вопросы для проверки знаний.
1. Какие узлы в теории интерполирования функций одной переменной называют однократными ?
2. Какую минимальную степень имеет полином, точно решающий задачу интерполирования по однократным узламP0 = (x0,y0), P1 = (x1,y1),...,Pn = (xn,,yn) и в каком виде он может быть представлен ?
3. Какие условия накладываются на функции Лагранжа и какую структуру имеют данные функции ?
4. Как на основе функций Лагранжа строится полином Лагранжа ?
5. Поясните вывод функций Лагранжа и построение полинома Лагранжа для простейшего случая интерполирования по двум однократным узлам.
6. Что называют матрицей Лагранжа ? Какой вид она имеет ?
7. Какова трудоемкость и сложность вычисления значений полинома по формуле Лагранжа при полном расчете и с пересчетом произведений в слагаемых полинома ? Что можно сделать для ее дальнейшего снижения ?
8. Какое явление называют осцилляцией интерполирующего полинома ?
Практические задания.
1. Найти выражения для функций Лагранжа и построить полиномы Лагранжа для следующих случаев интерполирования по однократным узлам:
а) n = 2; х0 = 1 ; х1 = 2 ; х2 = 3 ;
у(х0) = - 2 ; у (х1) = 1 ; у(х2) = - 4 ;
б) n = 3; х0 = -1 ; х1 = 0 ; х2 = 1 ; х3 = 2 ;
у(х0) = 10 ; у (х1) = 5 ; у(х2) = - 1 ; у(х3) = 1 .