2.3. Интеграл с переменным верхним пределом.

Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:  Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .  Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.  Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда  , где c - точка, лежащая между x и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла).. Устремим . При этом  (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует  , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

2.4. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Численные методы вычисления определенных интегралов очень важны в теории интегрирования. Хорошо известно, что нахождение определенного интеграла непосредственно связано с нахождением неопределенного интеграла. Также известно, что операция интегрирование не является достаточно простой и не для всякой функции существует интеграл от нее (первообразная функции), выписанный в явном виде. Есть так называемые "неберущиеся" интегралы.

Тем самым получаем, что известными начальными методами не удается вычислить определенный интеграл от достаточно большого класса функций.

В этих случаях целесообразно применять численные методы для нахождения определенных интегралов.

Как было сказано ранее -- определенный интеграл равен площади под графиком функции. Этот факт будет в дальнейшем использоваться. 

Практически все формулы приближенного вычисления определенного интеграла можно записать в виде , где узлы x_i, a=x₀<x₁ <…<x_n=b, и коэффициенты c_i не зависят от подынтегральной функции, а остаточный член R — погрешность квадратурной формулы. Приближенное значение интеграла вычисляют по формуле:, где — оценка погрешности квадратурной формулы, которую можно найти по правилу Рунге.

2.5. Понятие о несобственных интегралах.

До сих пор предполагалось, что, во-первых, областью интегрирования для определенного интеграла служит конечный отрезок  , а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема на этом отрезке. Отбрасывая эти предположения, приходим к понятиюнесобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции. Как противопоставление несобственным интегралам, обычные определённые интегралы, которые вычисляются от интегрируемых (ограниченных) функций и по конечным отрезкам, часто называют собственными интегралами. 

2.6. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление объема тела по заданной площади поперечного сечения. Вычисление объема тела вращения. Вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Вычисление площади плоской фигуры.

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.