7.4 Формула полной вероятности. Формула Бейеса вероятностей гипотез.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного события Нi (i=1,2,…,n) из некоторой полной группы несовместных событий H1,H2,…,Hn. События этой группы называют гипотезами.

Теорема: Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез образующих полную группу на соответствующее условие вероятности данного события А - формула полной вероятности. Р(Нi)=1

Доказательство: Т.к. А=Н1А+Н2А+…+НnА, причем , ввиду несовместности событий Н1,Н2,…,Нn, события Н1А, Н2А,…,НnА также несовместны, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем P(A)= P(HiA)= P(Hi)PнiA ч.т.д.

Формула Бейеса

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1,Н2,…,Нn, вероятность которых Р(Нi) (i=1,2,…,n)известны до опыта. Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события А, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определение вероятности Рнi(A) (i=1,2,…,n). Спрашивается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта.

Иными словами нам нужно определить условные вероятности Pa(Hi) (i=1,2,…,n). На основании теоремы умножения вероятностей имеем P(AH)=P(A)*Pa(Hi)=P(Hi)*Pнi(A); отсюда (Pa(Hi)=P(Hi)*Pнi(A))/P(A) (i=1,2,…,n). Для нахождения вероятности Р(А) можно использовать формулу полной вероятности P(A)= P(Hi)*Pнi(A). Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (формулу Бейеса)

(i=1,2,..,n)