7.2 Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Сумма событий. Вероятность суммы событий.

а) События называются СОВМЕСТНЫМИ, если появление одного не исключает появление другого. В противном случае, они называются НЕСОВМЕСТНЫМИ.

Б) Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

 В) Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.

Пример 8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий = { ₁,  ₂,  ₃, ₄,  ₅, ₆}, где элементарное событие  _i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = { ₂, ₄, ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = { ₅,  ₆}.

Событие A + B = { ₂, ₄,  ₅,  ₆} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B .

Г) Суммой событий и называется событие , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий или , т. е. в наступлении события , или события , или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий: .

7.3 Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения событий.

Зависимые и независимые события.

2 события А и В называются независимыми , если вероятность каждого из них не зависит от появления другого или не появления.

В противном случае события называются зависимыми.

Произведение событий.

Определение: Произведением двух событий А и В называется событие АВ=АдугаВ состоящее в одновременном появлении как события А так и события В

Пример. Пусть событие А есть выигрыш по займу 1, событие В выигрыш по второму займу. Тогда событие А+В есть выигрыш хотя бы по первому займу, возможно и по второму.

Определение: Условная вероятность, вероятность события А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью условия А

Р(А/В)=Рв(А); Рв(А)=Р(ВА)/Р(В); Р(В)>0

Пример: 3 белых шара, 3 черных. Из урны дважды вынимают по 1-му шару не кладут обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие А), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие В).

Решение: После 1-го испытания в урне осталось 5 шаров. Искомая условная вероятность Рв(А)=3/5.

2-й способ. Вероятность извлечения белого шара=1/2 Р(А)=Р(В)=1/2.

Вероятность произведения событий т.е. при 1-м черный при 2-м белый общее число исходов 6*5=30. Благоприятных исходов 3*3=9, таким образом Р(АВ)=9/3=3/10 Рв(А)=3/10*1/2= 3/5

Вероятность произведения событий.

Теорема 1 Вероятность произведения совмещение 2-х событий А и В равна произведению вероятности одного на условную вероятность другого в предположении, что первое имеет место. Р(АВ)=Р(А)*Ра(В).

Замечание т.к. ВА=АВ то Р(АВ)=Р(ВА)=Р(В)*Рв(А)

Теорема 2 Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В = произведению вероятности этих событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Пример: Вероятность поражения цели 1-м стрелком (А) =0,9 Вероятность поражения цели 2-м стрелком(В) =0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

С с чертой – оба промахнулись.

С с чертой= АВ с чертой т.к. Авероятнос с чертой и В с чертой – независимые события

Р(С с чертой)=Р(А с чертой)Р(В с чертой)=(1-Р(А))(1-Р(В))=0,1*0,2=0,02 – вероятность что оба промахнулись. Р(С)=1-Р(С с чертой)=0,98