2. Определенный интеграл.

2.1.Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции ,

то .  Док-во. Мы установили, что функция  - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве  переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .  Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:  (здесь  читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .  Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

 Свойства интеграла       Линейность 

     Аддитивность 

     Монотонность 

     Если  и a < b, то  В частности, если  то 

Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).  Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; символом будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой  ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .  S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При  разница между S_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.  .

2.2. Замена переменной. Интегрирование по частям.

Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Интегрирование  по  частям в определённом интеграле.

Пусть «u» и «v»-две дифференцируемые функции от х. Тогда дифференциал  произведения uv вычисляется по следующей  формуле  (uv)| = u|v+ uv| .Отсюда, интегрируя в пределах от “а” до “в” , получаем в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx  Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с ,         то в∫а(uv)|dx =uvв|а ; поэтому равенство может быть записано в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта формула наз-ся формулой интегрирования  по  частям. Она применяется к  интегрированию выражений, которые можно  представить в виде  произведения двух сомножителей u  и dv , чтобы отыскание фун-ии  v по её дифференциалу dv и вычисление  интеграла в∫аvdu составляли  в совокупности задачу  более  простую , чем непосредственное вычисление интеграла в∫аudv.