7 Метод простых итераций решения уравнения

Пусть задана нелинейная непрерывная функция действительного переменного f(x)  на отрезке [a,b]R. Требуется  решить  уравнение

f(x)=0                           (1)

Метод простой итерации состоит в том, что  уравнение (1)  заменяем на основе равносильных преобразований  уравнением  вида

x=(x)                           (2)

а затем  строим последовательность приближений  к корню уравнения x^*по правилу

          (3)

 

Здесь k-номер итерации. Приближенное значение корня с нулевым индексом, т.е.   называют начальным приближением. Это значение выбирается из каких-либо условий конкретной задачи или берется произвольно. Подставляем это значение в правую часть  соотношения (3) и получаем  , затем вычисленное таким образом каждое очередное приближение подставляем в правую часть и получаем 

 

В итоге получаем числовую последовательность  ,которая называется последовательностью приближений или итерационной последовательностью.

Сходимость метода простых итераций

Метод сходится, если при последовательность {} имеет предел. Обозначим окресность точки радиуса , то есть . Теорема 1. Если липшиц-непрерывна с константой на , то есть выполняется

,

при этом если также выполнено

,

то уравнение имеет единственное решение на и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближения .Так же справедлива оценка:

,

где - точное решение. Из оценки видно, что метод линеен. Пусть непрерывно дифференцируема на , тогда из теоремы вытекают следующие утверждения: Следствие 1. Если для , выполнено , и , тогда уравнение имеет единственное решение на и метод простой итерации сходится к решению. Следствие 2. Если уравнение имеет решение , непрерывно дифференцируема на и . Тогда существует такое, что на уравнение не имеет других решений и метод простой итерации сходится к решению при

8 Метод гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

9 Норма вектора. Сходимость по норме виды норм вектора

Линейное пространство называют нормированным, если

каждому его вектору x поставлено в соответствие число,

называемое нормой и обозначаемое как ||x||.

Аксиомы нормированного пространства:

1. | x||≥ 0, причем ||x||0 x 0.

2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

3. || x|| ≤ | | ||x||

10 Норма матрици. Виды норм матрици согласованной с нормой вектора Норма матрицы

Нормой матрицы A называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. , причём только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.