1 правило записи приближённых чисел. значащие цифры числа, верные значащие цифры
Приближенные числа принято записывать таким образом, чтобы вид числа показывал его абсолютную погрешность, которая не должна превосходить половины единицы последнего разряда, сохраняемого при записи.
2 Округление приближённых чисел
Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить, отбрасывая излишние цифры и руководствуясь следующим известным правилом округления: если первая из отброшенных цифр 4 или меньше, то последняя оставшаяся цифра сохраняется без изменения; если первая из отброшенных цифр 5 или больше, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу. Исключением из этого правила является случай, когда отбрасывается только пятерка или же пятерка с нулями. Здесь принято сохранять последнюю оставшуюся цифру без изменения, если она четная, и увеличивать ее на единицу до четной, если она была нечетная.
3 Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
4 относительная погрешность
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение (11, 48) абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
численное решение уравнений. Отделение и уточнение корней
5 Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.
Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд).
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
-
Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
-
Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения
Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.Е. , то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1)
Теорема
2.
Если непрерывная на отрезке
функция
принимает на концах отрезка
значения
разных знаков, а производная
сохраняет знак внутри отрезка
,
то
внутри отрезка существует единственный
корень уравнения f
(x) =
0
6Методы половинного деления
Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых.
Разделим отрезок
[a,
b]
пополам точкой
.
Если
(что
практически наиболее вероятно), то
возможны два случая: либо f(x)
меняет знак на отрезке [a,
c]
(Рис. 3.8), либо на отрезке [c,
b]
(Рис. 3.9)
|
Рис. 3.8 |
Рис. 3.9 |
Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.