Метод секущих плоскостей

Этот метод применяют для построения линии пересечения поверхностей, позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может быть проиллюстрировано на примере пересечения призмы ? и конуса Ф (см. рисунок 1, Метод секущих плоскостей).

Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня Si. На поверхности конуса (в силу того, что они перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности призмы - параллельные прямые (образующие).

Характерные точки 1, 5 линии пересечения определяют в пересечении фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения  определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях Si.

Билет №32

При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод вспомогательных секущих сфер – концентрических или эксцентрических.

Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями.  Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами. Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа в результате которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций (рис.8.33) или одна из осей становиться проецирующей прямой, а вторая - линией уровня (рис.34).

Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

		а) модель	б) эпюр
Рисунок 8.38. Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу

В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра  (рис.8.38), описанных около сферы , будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостях и ), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А₂В₂ и С₂Д₂,

Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.

Билет №33

Общие сведения об аксонометрических проекциях

При выполнении технических чертежей в ряде случаев оказывается необходимо наряду с изображением предметов в прямоугольных проекциях иметь и наглядные их изображения. Это необходимо для обеспечения возможности более полно выявить конструктивные решения, заложенные в изображении предмета, правильно представить положение его в пространстве, оценить пропорции его частей и размеры.

Наглядные изображения на некоторых чертежах могут применяться и независимо от прямоугольных изображений, например, при изображении схем электроснабжения и теплоснабжения зданий и сооружений.

Существуют различные способы построения наглядных изображений. Сюда относятся аксонометрические, афинные и векторные проекции, а также ли-

нейная перспектива. В настоящем учебном пособии рассматриваются только аксонометрические проекции.

Построение аксонометрических проекций заключается в том, что геометрическую фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта фигура отнесена в пространстве, параллельным (прямоугольным или косоугольным) способами проецируют на выбранную плоскость проекций. Таким образом, аксонометрическая проекция — это проекция на одну плоскость. При этом направление проецирования выбирают так, чтобы оно не совпадало ни с одной из координатных осей.

При построении аксонометрических проекций изображаемый предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz (см. § 37). В целом аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям. Название «аксонометрия» и произошло от слов — аксон — ось и метрео — измеряю.

Образование аксонометрической проекции рассмотрим на примере построения аксонометрической точки А, отнесенной к натуральной системе координат Oxyz (рис. 156). Натуральные координаты точки А получаются измерением отрезков координатной ломаной АА₁А_ХО натуральным масштабом е. При параллельном проецировании по направлениюS на плоскости аксонометрических проекций Я¹ получим аксонометрическую проекцию А¹ данной точки, аксонометрическую проекцию А¹A¹₁А¹_xО координатной ломаной и аксонометрическую проекцию ОУуУ натуральной системы координат, на осях которой будут находиться единичные аксонометрические масштабные отрезки e¹_xe¹_ye¹_z.

Аксонометрическая проекция А¹₁ горизонтальной проекции точки А (первичной) называется вторичной проекцией точки А. Совокупность всех этих проекций и составляет аксонометрию точки А.

На аксонометрическом чертеже вторичная и аксонометрическая проекции предмета обеспечивают метрическую определенность и обратимость однокартинного изображения.

В аксонометрических проекциях сохраняются все свойства параллельных проекций (см. § 28).

На практике измерения вдоль аксонометрических осей выполняют в одинаковых единицах — миллиметрах, поэтому единичные натуральные масштабные отрезки и их аксонометрию на чертежах не указывают.

Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.

Натуральные коэффициенты искажения обозначают: по оси х: и =О¹А¹х/OA_x; по оси у: v =A¹_xА¹₁/A_xA₁;

по оси z: w =A¹₁А₁/A₁A;

Билет №34

Виды аксонометрических проекций.  В зависимости от направления проектирующих лучей аксонометрические проекции разделяются на: прямоугольные или ортогональные (проектирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости П') и косоугольные (проектирующие лучи наклонены к аксонометрической плоскости). В зависимости от наклона осей координат к аксонометрической плоскости , а следовательно, от степени уменьшения размеров аксонометрических проекций отрезков, имеющих направление осей координат (Известно, что отрезок прямой, наклоненный к плоскости, проектируется на нее уменьшенным; чем больше будет угол наклона, тем меньших размеров будет проекция отрезка.), - все аксонометрические проекции делятся на три основных вида: 1) изометрические, т.е. одинакового измерения (оси z', х' и у' наклонены одинаково; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей одинаковое); 2) диметрические, т. е. двойного измерения (две оси координат имеют один и тот же наклон, а третья - другой; следовательно, уменьшение размеров по этим двум осям будет одно и то же, а по третьей оси - другое); 3) триметрические, т.е. тройного измерения (все оси имеют разный наклон; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей разное). В машиностроительном черчении из прямоугольных аксонометрических проекций чаще всего применяют изометрическую и диметриче-скую, а из косоугольных - диметрическую, которую иначе называют фронтальной диметрической проекцией. 3. Изображение аксонометрических осей и показатели искажения. В изометрической проекции углы между аксонометрическими осями х' , у' и z'одинаковы (по 120°); ось z' расположена вертикально; следовательно, оси х' иу' наклонены к горизонтальной линии на угол 30° (фиг.271,а).

При таком положении осей показатели искажения для всех осей одинаковы и равны 0,82. Показателем искажения называют отношение размера аксонометрической проекции отрезка, имеющего направление какой-либо оси координат, к его действительному размеру. Например, при действительном размере 100 мм и показателе искажения 0,82 размер аксонометрической проекции равен 100 × 0,82 = 82 мм. В диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z' и х' равен97°10', а углы между аксонометрическими осями х' и у', а также z' и у'одинаковы, т.е. по 131°25'. Аксонометрическая ось z' имеет вертикальное положение, следовательно, ось х' наклонена к горизонтальной линии на угол7°10' а ось у' на угол 41° 25' (фиг.271,б). При таком наклоне аксонометрических осей показатель искажения для осей z'и х' равен 0,94, а для оси у' - 0,47. Во фронтальной диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z' и х' равен 90°, а углы между аксонометрическими осями х' и у', а также между аксонометрическими осями z' и y' одинаковы, т. е. по 135°. Ось z'имеет вертикальное положение, следовательно, ось х' будет иметь горизонтальное положение, а ось у' наклонена к горизонтальной линии на угол45° (фиг.271,в). Показатели искажения по аксонометрическим осям х' и z' равны 1,0 а по оси у'- 0,5. Такую фронтальную диметрическую проекцию называют кабинетной; ее рекомендуется применять тогда, когда хотят показать без изменения очертания фигур, расположенных в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций. Для сравнения изображений, выполненных в аксонометрических проекциях, на (фиг.272) показаны различные аксонометрические проекции одного и того же куба.

Для упрощения вычисления показателей искажения ГОСТ 3453-59рекомендует строить изометрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям x', у' и z', а диметрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям х' и y', и с сокращением 0,5 по аксонометрической оси у'. В этом случае изображение получается несколько увеличенным, но наглядность его не ухудшается.

ОКРУЖНОСТЬ В АКСОНОМЕТРИИ

При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость П* получаем ее изображение в общем случае в виде эллипса (рис. 157).

Как бы ни была расположена плоскость окружности, сначала целесообразно построить параллелограмм A*B*C*D* – параллельную проекцию квадратаABCD, описанного около данной окружности, а затем с помощью восьми точек и восьми касательных вписать в него эллипс.

Точки 1, 3, 5 и 7 – середины сторон параллелограмма. Точки 2, 4, 6 и 8 расположены на диагоналях так, что каждая из них делит полудиагональ в соотношении 3:7.

Действительно, на основании свойств параллельного проецирования можно записать, что А2/1О=A*2*/2*O*, Но А1/1О=(r√2-r)/r≈3/7.

Из восьми касательных к эллипсу первые четыре – это стороны параллелограмма, а остальные  t₂, t₄, t₆ и t₈– прямые, параллельные его диагоналям. Так касательная t₂^* к эллипсу параллельна диагонали C*D*, Объясняется это тем, что t₂^* и C*D* являются проекциями двух параллельных прямых t₂ и CD.

Рисунок 157. Проецирование окружности на плоскость

Графические построения, предшествующие вычерчиванию самого эллипса, целесообразно выполнять в следующей последовательности (рис.158):

Рисунок 158. Построение эллипса

1. построить аксонометрическую проекцию квадрата - параллелограмм  A*B*C*D* и провести диагонали A*C* и B*D*;

2. отметить середины сторон параллелограмма – точки  1*, 3*, 5* и 7* ;

3. на отрезке 3*B*, как на гипотенузе, построить прямоугольный равнобедренный треугольник 3*KB*;

4. из точки 3* радиусом 3*K описать полуокружность, которая пересечет A*B* в точках L и M; эти точки делят отрезок 3*A* и равный ему отрезок3*B* в отношении 3:7 ;

5. через точки L и М провести прямые параллельные боковым сторонам параллелограмма, и отметить точки 2*, 4*, 6* и 8* расположенные на диагоналях;

6. построить касательные к эллипсу в найденных точках. Касательных t₂ и t₆ параллельны BD, а касательных t₄ и t₈  параллельны AC.

7. получив восемь точек и столько же касательных, можно с достаточной точностью вычертить эллипс.

ГОСТ 2.317-69 определяет положение окружностей, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям проекций для прямоугольной изометрической проекции (рис.159) и для прямоугольной диметрии (рис.160).

 

Рисунок 159. Изометрические проекции окружностей,  расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций	Рисунок 160. Диметрические проекции окружностей,  расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций

Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22, а малая ось -0.71 диаметра окружности.

Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая - 0.58 диаметра окружности.

Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.95, эллипсов 2 и 3 - 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0.9, эллипсов 2 и 3 - 0,33 диаметра окружности.

1-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси y); 2-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси z); 3-эллипс (большая ось расположена под углом 90⁰ к оси x).