2. Трехмерное изменение масштаба

Рассмотрим частичное изменение масштаба. Оно реализуется следующим образом:

S(Sx,Sy,Sz,1)=,

т. е. [x,y,z,1]*S(Sx,Sy,Sz)=[Sx*x,Sy*y,Sz*z,1].

Общее изменение масштаба получается за счет 4-го диагонального элемента, т. е.

[x y z 1] * = [x y z S] = [x* y* z* 1] = [].

Такой же результат можно получить при равных коэффициентах частичных изменений масштабов. В этом случае матрица преобразования такова:

S= .

3. Трехмерный сдвиг

Недиагональные элементы матрицы 33 осуществляют сдвиг в трех измерениях, т. е.

[x y z 1]* =[x+yd+hz, bx+y+iz, cx+fy+z, 1].

4. Трехмерное вращение

Двухмерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z . В трехмерном пространстве поворот вокруг оси Z описывается матрицей

R_z()=.

Матрица поворота вокруг оси X имеет вид

R_x()=.

Матрица поворота вокруг оси Y имеет вид

R_y()=.

Результатом произвольной последовательности поворотов вокруг осей x, y, z является матрица

А=.

Подматрицу 33 называют ортогональной, так как ее столбцы являются взаимно ортогональными единичными векторами.

Матрицы поворота сохраняют длину и углы, а матрицы масштабирования и сдвига нет.

3. Проекции

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n, в системы координат размерностью меньше чем n.

Будем рассматривать случай проецирования трех измерений в два. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проекционных лучей, которые называются проекторами и которые проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Рис. 6.57. Центральная и параллельная проекции

Определенный таким образом класс проекций существует под названием плоских геометрических проекций, так как проецирование производится на плоскость, а не на искривленную поверхность и в качестве проекторов используются прямые, а не кривые линии.

Многие картографические проекции являются либо не плоскими, либо не геометрическими.

Плоские геометрические проекции в дальнейшем будем называть просто проекциями.

Проекции делятся на два основных класса (Рис. 6 .57):

• параллельные (аксонометрические);

• центральные (перспективные).

Полная классификация проекций приведена на Рис. 6 .58.

Рис. 6.58. Классификация проекций

Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости (Рис. 6 .59):

1. ортографические – направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости;

2. косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.

Рис. 6.59. Ортографические и косоугольные проекции

Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций является вид спереди, вид сверху(план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны главным координатным осям, то такие проекции называются аксонометрическими.

При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости, (а следовательно и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потребуем, чтобы |a| = |b| = |c|, или a=b=c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каждом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изометрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), так как векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же проекционной плоскости.

Изометрическая проекция (Рис. 6 .60) обладает следующим свойством: все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).

Рис. 6.60. Изометрическая проекция единичного куба

Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирования не совпадают.

Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции:

• Кавалье (cavalier) – горизонтальная косоугольная изометрия (военная перспектива);

• Кабине (cabinet) – фронтальная косоугольная диметрия.

Рис. 6.61. Проекция Кавалье

В проекции Кавалье (Рис. 6 .61) направление проецирования составляет с плоскостью угол 45. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует.

Рис. 6.62. Проекция Кабине

Проекция Кабине (Рис. 6 .62) имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол = arctg(½) (≈26,5°). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины. Проекции Кабине являются более реалистическими, чем проекции Кавалье, так как укорачивание с коэффициентом ½ больше согласуется с нашим визуальным опытом.

Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только три такие точки, соответствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно и от числа координатных осей, которые пересекают проекционную плоскость.

1. Одноточечная проекция (Рис. 6 .63).

Рис. 6.63. Одноточечная перспектива

2. Двухточечная проекция (Рис. 6 .64) широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании.

Рис. 6.64. Двухточечная перспектива

3. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.