2.5 Моделирование - инструмент исследования систем управления

2.5.1 Аналитические модели описания ису

А. Понятие модели и процесса компьютерного моделирования. Из предыдущих разделов очевидно, что процессы проектирования и производства ИСУ невозможно качественно осуществить без использования методов математического и/или компьютерного моделирования. Первоначально под моделью понималось вспомогательное средство, заменяющее исследуемый объект (модель плотины, машины, манекен), затем модель стала восприниматься не только как способ существования знаний, но и как активный этап процесса создания систем, заменяя собой в ряде случаев этапы проектирования. Любой алгоритм – это модель деятельности и в силу системности мира моделей – любая целесообразная деятельность невозможна без моделирования. Естественно, что модель не заменяет оригинала, а является его целевым отображением.

Классификация системного мира моделей весьма широка, поэтому на рис.19 рассмотрена суженная классификация, отвечающая задачам пособия.

Дадим краткое пояснение классификации, приведенной на рис.19.

Ф - физическое (прямое) моделирование, Ф1 предусматривает использование в качестве модели саму систему (опытный образец), а Ф2 другую систему со схожей физической природой (макет автомобиля, сооружения, плотины). Такой вид моделирования способствовал созданию теория подобия.

М - математическое моделирование, распадающееся на две группы М1 и М2.

М1 – аналитическое моделирование, которое можно разделить на М1 – 1 явное аналитическое описание искомых характеристик системы на одном из языков математики (см. раздел 2.3.2), М1 – 2 -приближенные численные методы, когда все объекты аппроксимируются числами или их комплектами в принятой числовой сетке, а результаты получаются в виде таблиц или графиков, М1 – 3 - качественные методы, когда изучаются свойства решений задач данного класса без нахождения самих решений. Зачастую эти методы реализуются с помощью экспертного оценивания. Такого вида методы широко используются в теории качества, квалиметрии, экономике, социологии и т.д.

М2 - компьютерное моделирование, когда математическая модель интерпретируется в программу для ЭВМ. Характерно, что с появления статьи Дж. Неймана и С. Улама в 1948 году - первой работы по применению метода Монте – Карло, многие специалисты продолжают называть компьютерное моделирование - КМ методами Монте – Карло или статистических испытаний. Это в принципе не верно, так как КМ разделилось на 4 направления, указанные на рис.19 [2,10].

М2 –1 - методы Монте – Карло или методы вычислительной математики, использующие методы М1 – 2 с учётом возможностей современных компьютеров. Этими методами можно вычислять любые, не берущиеся аналитическим путём, многократные интегралы, решать системы уравнений. Интересующихся методами вычислительной математики следует обратиться к многочисленной литературе. М2 – 2 - методы имитационного моделирования (simulation) - ИМ для которых характерно воспроизведение на ЭВМ процесса функционирования системы с сохранением его логической структуры и последовательности его протекания во времени, что позволяет, путём многократного повторения, набрать необходимые статистические данные и судить о состоянии объекта в различные моменты времени, оценивать выходные характеристики, выбирать оптимальное поведение или проводить сравнение альтернативных вариантов. Основной акцент этого раздела пособия делается на рассмотрение именно ИМ.

М2 – 3 –вид компьютерного моделирования, позволяющего получить статистические данные об объекте, чаще всего с использованием метода планирования эксперимента [23]. Кроме того, можно назвать две хорошие монографии: Кляйнен Дж. «Статистические методы в имитационном моделировании» и Афифи А., Эйзен С. «Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ». В настоящее время существует большое число ППП, которые можно условно разбить на три группы:

• пакеты углубленного статистического анализа для специалистов по математической статистике с собственным языком, позволяющим программировать новые статистические процедуры (Systat, SAS, Statgraphics)

• пакеты базовой статистики, ориентированные на пользователей, не являющихся специалистами по статистическому анализу и содержащие классические методы анализа с дружественным пользовательским интерфейсом в виде многочисленных пояснений и подсказок (разделы MatLab, Статмод, Minitab, QStat).

• проблемно-ориентированные пакеты, использующие терминологию и критерии в исследуемой конкретной предметной области.

. М2 – 4 - комплексы имитационного моделирования, объединяющие все названные виды КМ, пользовательский интерфейс, автоматизированные системы поддержки принимаемых решений и т.д. Это перспективное развивающееся направление предназначено для исследования качества сложных систем.

Математическое моделирование – ММ, позволяет благодаря абстрактным математическим формулам точно, однозначно и количественно оценить исследуемый объект. Усложнение исследуемых систем привело к резкому усложнению их математического описания, что в свою очередь приводило к необходимости делать всевозможные упрощающие допущения. При этом возникла опасность ухода от реального представления о системе. Выходом из этого положения являлся либо прогресс самих математических методов, либо изыскание иных методов описания. Появление мощных современных компьютеров и возникновение информационных технологий – ИТ привело ко второму рождению ММ. Оно стало вторгаться практически во все сферы человеческой деятельности. В ряде областей ММ стало вытеснять физическое моделирование, так произошло, в частности, в авиационной промышленности где начался демонтаж аэродинамических труб.. По определению академика РАН РФ А.А. Самарского процесс ММ базируется на триаде «модель – алгоритм – программа». До появления ЭВМ основную роль играла модель в виде математических уравнений, а алгоритм представлял собой схему ручных расчётов для приближённого решения уравнений, программа отсутствовала вообще. В начале использования ЭВМ первого поколения программе отводилась второстепенная роль - представление алгоритма в машинных кодах, Развитие ИТ привело к тому, что ЭВМ стали использовать для моделирования процессов функционирования системы, причём в этом случае имелись алгоритм и программа, а математическая модель в её классическом виде практически отсутствовала или молчаливо предполагалось, что математической моделью является одно из аналитических представлений. Это направление получило название имитационного моделирования. Таким образом, в ММ началось опережающее развитие третьей компоненты триады - программы или программного обеспечения процесса моделирования. Компьютерная модель должна оставаться прежде всего моделью реального объекта независимо от того чем описывается его поведение: набором формул или правил, графиком или прогнозными оценками экспертов. Поэтому модель должна допускать исследование всех интересных возможностей: анализ чувствительности, изменение выходных характеристик, определение областей устойчивости и степень робастности, оптимизацию параметров, оценку вариантов построения и т.д. В связи со сказанным всё чаще в литературе [] появляется термин -компьютерное моделирование - КМ. КМ объединяет достижения математического моделирования, системного программирования и информационных технологий. По Р. Шеннону имитация это «процесс конструирования реальной системы и постановке эксперимента на ней». При этом любые характеристики определяются за счёт проведения прогона или нескольких прогонов модели, каждый из которых включает заданное число реплик (реализаций вычислительного эксперимента). ИМ можно использовать в двух направлениях:

• Рассматривать случайные процессы функционирования системы и определять статистические характеристики, что интересно в первую очередь разработчикам и исследователям системы,

• При известном или детерминированном процессе функционирования системы определять разные варианты построения, элементов конструкции или стратегии управления, что интересно в первую очередь конструкторам, архитекторам или менеджерам.

Оба названных направления имеют право претендовать на соответствие классическому определению Шеннона. Чтобы уяснить место имитационных моделей в общей структуре ПО рассмотрим уровни построения ПО.

Уровень 1 Машинные коды, автокоды, машинно - ориентированные языки, операционные системы.

Уровень 2 Алгоритмические языки высокого уровня (С⁺⁺, Pascal и др.), системы программирования СУБД.

Уровень 3 Специализированные алгоритмические языки моделирования, в том числе и имитационного – ЯИМ (SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.).

Уровень 4 Интегрированные системы имитационного моделирования (например SLX, СИМ), автоматизированные системы искусственного интеллекта (экспертные, поддержки принятия решений).

Объекты первого уровня не требуют никаких комментарий.

Языки второго уровня при их универсальности дороги и сложны.

Языки третьего уровня, теряя в универсальности, приобретают направленность на конкретную область и становятся простыми. Отметим, что GPSS/H, сохранив все преимущества языков 3 – го уровня, вобрал в себя многие положительные черты языков 2 – го уровня.

Учитывая, что число ЯИМ на сегодняшний день превышает 600, выбор ЯИМ зависит от многих факторов:

• предметной области,

• квалификации пользователя,

• наличия соответствующей ВТ и т.д.

Четвёртый уровень включает в себя проблемно – ориентированные интерактивные системы, включая в себя автоматизированные экспертные, оптимизационные системы, а также имитационно - моделирующие комплексы.

Достоинства компьютерного моделирования:

1. Возможность объединения традиционных математических методов и экспериментальных машинных методов.

2. Высокая эффективность применения для исследования АСНИ, САПР, экспертных систем. По данным RAND Corp. консалтинговые фирмы из всей гаммы возможных средств анализа – линейное, нелинейное, динамическое программирование, методы исследования операций, имитационное моделирование более чем в 60% случаев прибегают к помощи ИМ.

3. Возможность исследования объектов, физическое моделирование которых экономически не оправдано или неосуществимо.

4. Испытание объекта связано с опасностью для здоровья человека.

5. Исследование еще не существующих объектов.

6. Исследование труднодоступных или ненаблюдаемых объектов.

7. Исследование экологических, социальных или экономических систем .

8. Исследование объектов практически любой сложности при снятии ограничения на вид законов распределения случайных величин.

Естественно, что при большом числе достоинств КМ не может не обладать рядом недостатков, в их числе дороговизна (время и деньги), меньшая степень общности по сравнению с аналитическим моделированием и отсутствие, в настоящее время, методов оценки адекватности КМ.

Процесс КМ системы S можно разделить на три последовательно выполняемых этапа (рис.20):

Э1 Э2 Э3

S S` S``

Рис.20 Этапы представления модели

Э1. Построение математической (концептуальной) модели S` см. раздел 2.3.2.

Э2. Разработка моделирующего алгоритма S`` .

Э3. Исследование системы S с помощью модели S``

Процесс ИМ не является строго поступательным, между этапами существуют обратные связи, позволяющие вводить новую информацию, вносить уточнения и корректировки.

Понятие математической модели. Построение математической модели на этапе Э1 включает в себя пять взаимосвязанных подэтапов [2,10]:

1. Уяснение и постановка задачи, определение целей исследования.

2. Декомпозиция системы на компоненты, допускающие удобное математическое или алгоритмическое описание.

3. Определение параметров, переменных, пространства состояний системы, установление пределов изменения каждой характеристики.

4. Выбор показателей КЦФ, т.е. вектора .

5. Описание концептуальной модели S` системы S по одному из представленных ниже типов и проверка ее адекватности.

В качестве примера рассмотрим: гибкую производственную систему обработки несущих конструкций (рис.21), состоящей из автоматизированного склада, крана- штабелера, пунктов контроля, робота, накопителей и станков с ЧПУ.

Автоматизированный склад

Пункты контроля

Робот

Кран-штабелер

ЧПУ 1

ЧПУ к

1

к

…

…

Рис.21 ГПС обработки несущих конструкций РЭС

Введем обозначения: - временной интервал моделирования системы S (интервал модельного времени), где:

• t₀ время начала моделирования (обычно полагают t₀ = 0);

• Т – время окончания моделирования;

• - текущее значение модельного времени.

Построение математической модели системы S начинается с определения параметров системы и переменных, определяющих процесс функционирования системы.

Физическую интерпретацию вводимых здесь понятий будем давать, используя пример ГПС (рис.21). Подробное описание идеи математической модели дано в разделе 2.3.2 настоящего пособия. Ниже рассмотрим один тип непрерывно- вероятностных моделей, наиболее применимых для целей имитационного моделирования

Б. Непрерывно-вероятностные аналитические модели

При построении и исследовании НВ-моделей используется теория cтохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания [1].

Стохастическое дифференциальное уравнение (в форме Ито) имеет вид:

dx(t) = a(t,x(t))dt + b(t,x(t)) dq (t)

где x(t) - случайный процесс, определяющий состояние системы в момент времени t, q(t) - стандартный винеровский случайный процесс; b(·), а(·) - коэффициенты диффузии и переноса. При некоторых условиях гладкости на коэффициенты а(·), b(·) решение этого стохастического дифференциального уравнения является марковским диффузионным процессoм. Распределение вероятностей процесса удовлетворяет уравнениям Колмогорова. Такая НВ- модель часто используется при моделировании стохастических систем управления, процессов тепло- и массообмена.

Теория массового обслуживания применяется для построения математических моделей таких сложных систем, для которых характерно: 1) наличие потока многих заявок на выполнение определенных операций (заявок на обслуживание); 2) наличие многократно повторяемых операций (выходной поток).

Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызовов в телефонных станциях и т.д. При этом для функционирования таких систем характерна стохастичность: случайность моментов времени появления заявок на обслуживание и т.д.

Сложная система S, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из L 1 взаимосвязанных и взаимодействующих элементов-приборов обслуживания П₁,… П_l. Прибор обслуживания П_i состоит из накопителя заявок Н_i в котором могут одновременно находиться l_i заявок и канала К_i обслуживания заявок; m_i () - емкость накопителя H_i , т.е. число мест в очереди для ожидания начала обслуживания в канале К_i (i= 1, L). На каждый элемент прибора П_i поступают потоки событий; в накопитель H_i - поток заявок {v_i}, на канал K_i - поток "обслуживаний" {u_i}. Поток заявок {v_i} представляет последовательность времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. Поток {u_i} представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом К_i и заявки, покинувшие прибор П_i по различным причинам необслуженными (например, из-за конечности m_i), образуют выходной поток {y_i} - последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок; это и есть выходной сигнал СМО.

Процесс функционирования прибора П_i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени

, где x_i1(t) - число заявок, находящихся в накопителе в момент времени t, x_i2(t) - состояние канала обслуживания К_i (x_i2(t) = 0, если канал свободен, x_i2(t) = 1, если канал занят).

Приборы обслуживания П₁, ..., П_L, связаны и взаимодействуют между собой. Если каналы {К_i} различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание. Если же приборы {П_i} или их параллельные блоки соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание .

Для обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом:

A/B/n/m.

Символ А характеризует входящий поток заявок: A = GI рекуррентный поток, A = М - простейший поток с показательным распределением вероятностей, А = Е_k, - поток Эрланга k-го порядка; А = D - регулярный или детерминированный поток (с постоянными интервалами между моментами поступления заявок ) .

Символ В характеризует случайные последовательности длительностей обслуживания на отдельных каналах: В = G или B = GI - рекуррентное обслуживание с одной и той же функцией распределения B(t) для разных каналов; В = М - показательное обслуживание; В = Е_k- эрланговское обслуживание k-го порядка; В = D- регулярное обслуживание.

Символ n означает количество обслуживающих каналов, символ m - количество мест для ожидания заявок в очереди. Если n > 1, то система называется многоканальной. Значение m = 0 характеризует СМО с потерями; m = - систему с ожиданием; 0 < m < - систему с ограниченным числом мест для ожидания.

Рассмотрим пример, в котором имеется возможность аналитического определения показателей эффективности функционирования СМО (М/М/1).

Пусть процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в накопителе, тогда состояние СМО описывается следующей системой уравнений:

(16)

где Р_n(t) - вероятность нахождения системы в состоянии в момент t, т.е. когда в ней находятся n заявок.

Вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t + t) равна сумме трех вероятностей:

1) вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время t в систему не поступает ни одной заявки и ни одна заявил не будет обслужена ;

2) вероятности нахождения в системе (n - 1) заявки в момент t, умноженной на вероятность поступления одной заявки за время t, и ни одна заявка не будет обслужена;

3) вероятности нахождения в системе (n + 1) заявки в момент t, умноженной на вероятность ухода одной заявки, при условии непоступления ни одной заявки.

Заметим что

Образуя разностное уравнение и переходя к пределу, получаем дифференциальные уравнения:

(17)

Найдем выражение среднего числа заявок, находящихся в накопителе, и среднего времени ожидания заявок в накопителе для стационарного состояния при загрузке

Приравняв производные по времени t к нулю, получим уравнения:

Положим n =1, тогда (1+ )p₁ = p₂ + , повторяя эти операции, имеем р_n = , причем

.

Следовательно, получим, что р_n = рⁿ(1 - ) геометрическое распределение.

Среднее число заявок в системе равно:

,

.

Среднее число заявок, находящихся в накопителе, равно

.

Среднее время ожидания заявок в накопителе равно

.