2.4.2 Методы принятия решения

А. Общие положения. Принятие решения на основе выбора одной из альтернатив из полученного при техническом прогнозировании (моделировании) множества возможных исходов является уделом ЛПР (человек или группа людей). На характер принятия решения оказывают влияние внешние и внутренние причины:

- к внешним относятся: время на принятие решений, структура организации (уровень оснащенности вычислительной техникой наличие аналитического отдела), цели стоящие перед ЛПР,

- к внутренним - стиль принятия решений: интуитивный и аналитический. Причем взгляд, что корректный математический подход предпочтительней не бесспорен. Зачастую эвристический подход, относящийся к творческой деятельности естественного и искусственного интеллектов, может привести к более эффективным решениям, хотя эта проблема требует еще и четкой постановки и путей решения. Считая, что, пользуясь аналитическими методами можно четко описать альтернативу, возможную стратегию ее осуществления и даже последствия применения этой стратегии, необходимо провести оценку альтернатив с учетом их субъективной полезности или КЦФ. К неправильным решениям может привести:

- ложные исходные предпосылки

- неправильное толкование исходных данных и ошибочный прогноз,

- неверное или злонамеренное поведение ЛПР.

Однократное решение не позволяет делать далеко идущие выводы и поэтому необходимо создавать механизм целенаправленной деятельности по принятию решений, что возможно только при условии использования ИТ. В этом процессе должны участвовать, поддержанные ВТ:

а) ЛПР, несущие всю ответственность за принимаемое решение,

б) эксперты и/или экспертная система

в) лица, обеспечивающие принятие решения - ЛОР не несущие непосредственной ответственности за принятие решения.

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу. Искусство постановки задач постигается на примерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации. В первом приближении можно сформулировать следующую последовательность действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:

• установление границы подлежащей оптимизации системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует к декомпозиции сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;

• определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить "наилучший" проект или множество "наилучших" условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;

• выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

• построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. В самом общем случае структура модели включает основные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов. Элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженерной системы. Очевидно, процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы.

По методам принятия решения существует много работ, но прежде всего, укажем на [7], в которой достаточно просто рассмотрены методы принятия технических решений. Необходимо отметить, что, несмотря на сходство аналитического аппарата, методы принятия решений в разных областях знаний отличны друг от друга.

Относительно любой пары сравниваемых альтернатив можно вводить отношения эквивалентности либо предпочтения. Из конечного и счетного множества исходов прогнозирования необходимо выбрать ограниченное число, а в идеале одно решение. При этом:

1. сравнение можно проводить по одному или нескольким критериям, которые могут оцениваться количественными значениями (параметры) или качественными (альтернативными типа больше - меньше, хуже - лучше).

2. Принятие решения чаще всего проводится в условиях неопределенности и стохастичности.

3. Принятие решений зависит от интересов сторон (кооперативный выбор, выбор в конфликтной ситуации, компромисс и т.д.)

Естественно, что аналитическое описание в каждом случае будет различным, поэтому остановимся на общей идее формальной структуры принятия решения. Предположим, что каждая альтернатива E_i полученная в результате прогнозирования . E- конечное множество альтернатив, . Каждый вариант E_i однозначно определяется результатом e_i который должен допускать количественную или качественную (квалиметрическую) оценку.

Естественно, что искомый вариант должен иметь максимальное значение e_i. Критерий в этом случае должен иметь вид:

(9)

и читается: "множество Е₀ оптимальных вариантов, состоит из тех вариантов Е_i0, которые принадлежат множеству Е и оценка которых максимальна среди всех оценок e_i " Выбор оптимального варианта в соответствии с (9) не является однозначным и приводит к Паретовскому множеству. Под компромиссным или множеством по Парето понимается множество, состоящее из максимальных значений частных критериев различных альтернатив. Это происходит, когда предпочтение по одному критерию расходится с предпочтением по другому и альтернативы становятся не доминируемыми, т.е. не сравнимыми). На рис.15 показана разница между различными критериями в случае пространства двух параметров.

Рассмотрим вначале случай, варианту решения Е, вследствие различных когда внешних условий E_j соответствуют различные результаты е_ij, создавая матрицу решений . Поэтому начальная задача максимизации e_i согласно (9) должна быть заменена другой учитывающей последствия любого варианта

Рис.15 Иллюстрация методов принятия решений

а) суперкритерий, б) метод уступок, в) метод Парето

. Для этого необходимо ввести оценочные функции. При этом матрица решений сводится к одному столбцу и каждому варианту E_i приписывается некоторый результат e_ir, характеризующий все последствия этого решения.

	F1…	Fj…	Fm
E1	el1…	eli…	elm
Ei	eil…	eij…	eim
En	en1…	enj…	Enm

Тогда каждое из альтернативных решений будет характеризоваться комбинацией из наибольшего и наименьшего результатов:

(10)

На основе (10) получается способ построения оценочных функций:

(11 )

При оптимистической позиции (азартный игрок) ищется наилучшее решение

(12)

В нейтральной позиции максимум среди математических ожиданий :

, (13)

В пессимистической позиции максимум среди минимальных решений:

(14)

Оценка (12) обычно на практике не используется. Влияние ЛПР на эффективность решения иллюстрируется на рис.16

Рис.16 Поле полезности решения

УТ- утопическая точка, РТ- рассматриваемая точка, АУТ - антиутопическая точка

Под утопической точкой понимается оптимистическое решение, рассматриваемые точки лежат внутри прямоугольника, называемого полем полезности решения. При сравнении вариантов E_k будет не худшим Е₁ , если а или лучшим если неравенства строгие, в случае когда , а то установлен только частичный порядок. Введя в центре прямоугольника точку РТ, плоскость разбивается на четыре области (при произвольной размерности получаются конуса). Тогда все точки области (конуса) 1 лучше РТ и получаем область предпочтения, область 3 хуже РТ (антиконус), области же 2 и 4 - области неопределенности, оценка в которых производится только с помощью критериев принятия решения.

В случае n решений и m состояний критерий имеет вид:

Функция m переменных К характеризует критерий и задает оценочную функцию, полагая e_i1=x₁ и так далее рассмотрим функцию К на всем n-мерном пространстве R^m, тогда значению параметра К = К (x₁,…,x_m) ставится в соответствие гиперповерхность, называемая поверхностью уровня. В рассматриваемом двумерном случае .положив с помощью равенства K(u,v)=K получаем на плоскости кривую называемую линией уровня , которая соответствует значению К . При фиксированном уровне К получаем зависимость - функцию предпочтения, представленную на рис 17. Для выражения (13) функция представляется биссектрисой 2 и 4 областей, все точки справа и выше лучше точек слева и ниже. Естественно, что всё сказанное является лишь иллюстрацией общего подхода.

Рис. 17 Функция предпочтения

Б. Принятие оптимальных решений в условиях неопределенности

 Как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Однако, из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного уже решения всегда остается за человеком (ЛПР).

При решении конкретных задач с учетом неопределенностей инженер сталкивается с разными их типами. В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

• неопределенность целей;

• неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

• неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводим его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений.

Дело в том, что кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности.

По этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистический характеристики (законы распределения и их параметры).

Примером таких задач могут быть, в частности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники.

Другим крайним случаем может быть неопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель - "дурная неопределенность"), при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом ЛПР должен иметь в виду опасность несовпадения его результатов с реальными условиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.

Таким образом, неопределенность целей требует привлечения каких-либо гипотез, помогающих получению однозначных решений.

В. Критерии принятия решения

1. Классический минимаксный критерий введён в 1950 Вальдом и соответствует позиции крайней осторожности:

Z_MM = max e_ir , е_ir = min e_ij

E₀ = {Е_io |Е_i0 Е е_i0 = max min e_ij}

Для этого критерия матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших значений e_ir каждой строки. Выбирать надо те варианты Е_i0 , где стоят наибольшие значения e_ir этого столбца. Такой выбор полностью исключает риск и он применим, когда:

- ничего не известно о возможности изменения внешних факторов, решение реализуется однократно,

- необходимо полностью исключить результаты хуже Z_MM.

2. Критерий Байеса - Лапласа учитывает каждое из возможных состояний:

Z_MM = max e_ir, eir =

т.е. вводится строка математических ожиданий. Этот критерий расширяет границы минимаксного критерия, так как:

- известны вероятности появления или изменения внешних факторов,

- выбор может осуществляться многократно,

- появляется риск.

Существует ещё много других критериев: - вводящих понятие выигрыша (Сэвиджа), уравновешивающих оптимизм и пессимизм (Гурвица), объединяющих ММ и BL критерии (Ходжа-Леймана) и т.д. Очевидно, что все критерии используют минимаксный принцип, учитывая разные компоненты вероятности, весовых функций, критерий р, взятый из теории нечетких множеств Задэ. На практике применяют поочерёдно различные критерии, а затем принимают окончательное решение.

Рис. 18 Семейство линий уровня

Влияние критерия на вид оценочной функции проиллюстрируем на простейшем примере рассмотрения двух состояний F₁, F₂, когда y, a e_ir = f ( е_i1 , е_i2) , то после подстановки имеем: u = e (y, F); v = e (y, F). С помощью f (u, v)= К задаётся семейство линий уровня, получаемых параллельным переносом на плоскости (u, v) вдоль прямой, носящей название направляющей. Для минимаксного критерия ММ семейство конусов предпочтения лежит на линии х = у. В нашем случае необходимо перемещаться по биссектрисе до момента встречи последней точки (е_i1 , е_i2).На рис.18 приведен пример для критерия Zmm. Для критерия Гермейера введение вероятностей меняет лишь угол наклона направляющей. Для критерия Сэвиджа происходит смещение на расстояние полезности и т.д.

Г.Оценка принимаемого решения.

Учитывая, что решения необходимо принимать в любых случаях, независимо от вида воздействий и законов распределения, приходится вводить не только доверительные интервалы для параметров, но и их коэффициенты значимости, прибегая к понятию релевантности (упорядочению параметров по степени их влияния). Мерой неопределённости появления значения параметра принимается Шенноновская мера энтропии (см. раздел 2.3.3). При выборе одной из альтернатив в принципе возможны четыре исхода:

- принято верное в данной ситуации решение,

- отвергнуто неверное в данной ситуации решение,

- отвергнуто верное в данной ситуации решение (ошибка 1-го рода)

- принято неверное в данной ситуации решение (ошибка 2-го рода). Первые две ситуации очевидны и не требуют пояснений. Две следующих ситуации широко применяются в теории математической статистики, поэтому дадим только краткий комментарий. При проверке статистических гипотез возможны две ситуации:

гипотеза верна или гипотеза ошибочна и два возможных действия: отвергнуть или принять одну из гипотез. Сведём результат в таблицу 5.

Таблица 5

Ситуация Действие	Н0 верна	Н0 неверна (НА)
Отвергнуть
Принять

Вероятности ошибочных решений в разных случаях их применения носят порой разные наименования не меняя при этом своего статистического смысла. Так:

- Ошибка 1-го рода, риск 1, риск поставщика (изготовителя), риск излишней наладки технологического процесса -- определяется вероятностью неправильного отклонения нулевой гипотезы и берется обычно в интервале от 0,01 до 0,1.

- Ошибка 2-го рода, риск 2, риск заказчика (потребителя), риск незамеченной разладки технологического процесса -- определяется вероятностью принятия альтернативной гипотезы и берётся обычно от 0,1 и выше. Любое принимаемое решение характеризуется заранее задаваемой вероятностью ошибки первого рода и в процессе принятия решения может возникнуть три принципиально различных случая:

1. Эмпирический доверительный фактор - известна выборка значений параметров и оценивается относительная величина отклонения теоретического среднего от минимального значения критерия

2. Прогностический доверительный фактор - известны теоретические вероятности значений параметров. Оценивается относительная величина отклонения среднего выборочного значения по серии W экспериментов от минимального значения критерия.

3. Эмпирико- прогностический доверительный фактор - относительная величина отклонения среднего значения параметра от минимального оценивается для предстоящей серии W экспериментов по результатам выборки V проведенных.

 Д. Принятие решений в условиях риска

Как указывалось выше, с точки зрения знаний об исходных данных в процессе принятия решений можно представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения описывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствует ситуации риска. При оценке риска необходимо строить дерево ошибок аналогичное дереву решений. Естественно, что оценки риска весьма расплывчаты. Риск субъективно привлекательной деятельности обычно занижается (альпинизм, парашютный спорт), риск событий, на которые трудно повлиять завышается. При принятии решений необходимо выбрать рациональные варианты и соотнести их с ущербом или угрозой. По разным отраслям и событиям накоплена статистика, которая кладётся в основу расчётов с использованием правил Булевой алгебры. Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из следующих критериев:

• критерий ожидаемого значения;

• комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

• известного предельного уровня;

• наиболее вероятного события в будущем.

Рассмотрим более подробно применение этих критериев.