3 Расчёт датчика обратной связи

Потенциометрические датчики состоят из каркасов, на которые намотан провод, изготовленный из материала с высоким удельным сопротивлением, и токосъемного движка (контактной щетки), который касается провода. Для обеспечения электрического контакта обмотка в месте касания зачищается от изоляции. Движок прижимается к обмотке за счет силы упругости.

Потенциометрический датчик линейных перемещений условно изображается в виде переменного резистора, длина которого соответствует длине обмотки реостата.

Выполним расчёт используемого потенциометрического датчика перемещений, схематично изображенного на рисунке 2, на предмет устойчивости от внешних помех и расчёт основных элементов датчика, удовлетворяющих заданным условиям [7].

Рисунок 2 – Потенциометрический датчик перемещений

1) Анализ датчика на предмет устойчивости от внешних помех:

• найдём максимально допустимую температуру нагрева обмотки

, (31)

где - предел прочности материала провода (вольфрам), ,

- коэффициент линейного расширения материала каркаса (оксидированный алюминий), ,

- коэффициент линейного расширения материала провода (константан), ,

- модуль упругости материала провода, ,

- минимальная температура нагрева корпуса, .

. (32)

• допустимое значение перегрева обмотки

, (33)

где - максимальная температура окружающей среды, .

. (34)

2) Расчёт основных элементов датчика, удовлетворяющих заданным условиям:

• диаметр провода (обмотки)

, (35)

где - коэффициент, зависящий от конструкции, , ,

- удельное сопротивление материала провода (константан),

,

- максимальный ток, ,

- коэффициент теплоотдачи.

. (36)

• средняя длина одного витка обмотки

, (37)

где - сопротивление потенциометра, ,

- число витков обмотки, (38)

- величина максимального перемещения ползунка,

, - диаметр провода с изоляцией, ,

, (39)

. (40)

• диаметр каркаса

, (41)

где - диаметр провода с изоляцией,

. (42)

Таким образом, в результате расчёта было показано, что выбранный датчик устойчив по отношению к внешним помехам, в частности, к воздействию температуры, так как вычисленная максимально допустимая температура нагрева обмотки меньше допустимой температуры нагрева провода. Кроме того, были рассчитаны геометрические параметры основных элементов датчика, удовлетворяющие заданным условиям.

4 РАСЧЁТ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

4.1 Расчёт устойчивости непрерывной системы

К неизменяемой части системы относят все элементы с передаточной функцией, отличной от единицы.

Для определения устойчивости системы необходимо найти передаточную функцию разомкнутой системы управления, то есть системы без обратной связи, получаемую путем перемножения передаточных функций элементов прямой цепи:

. (43)

При подстановке в данное выражение найденных передаточных функций элементов в программе MathCAD получим:

(44)

Заменив p на j в найденном выражении, получим частотную форму записи передаточной функции:

(45)

По выражению (46) построим АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 3):

Рисунок 3 – АФЧХ разомкнутой системы

Согласно критерию Найквиста, замкнутая автоматическая система управления будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0). Таким образом, имеем устойчивую систему с неограниченно большими запасами по амплитуде и фазе [1].

Построение переходного процесса выполняется на основе обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы автоматического регулирования в замкнутой форме. Передаточная функция замкнутой системы определим по формуле:

, (46)

Преобразование по Лапласу от передаточной функции системы автоматического регулирования в замкнутой форме осуществляется в программе MathCAD:

(47)

Графическое представление переходного процесса представлено в соответствии с рисунком 4.

Рисунок 4 - График переходного процесса системы

Показатели качества определяются по графику 4 переходного процесса исходной системы автоматического регулирования:

1)  = - перерегулирование;

2) n = 0 – число полных колебаний;

3) t_р = 30 с – время регулирования.

4.2 Расчёт устойчивости дискретной системы

Проверка устойчивости ЛСАУ с учетом ЭВМ выполняется на основании критерия устойчивости Шур-Кона, который позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в z-форме.

Замкнутая система будет устойчива, если корни характеристического уравнения находятся внутри единичной окружности, т.е. если коэффициенты уравнения будут удовлетворять всем определителям Шур-Кона, имеющим отрицательные значения для нечетных определителей и положительные для четных.

Переход от операторной формы записи передаточной функции замкнутой системы к z-форме осуществляется при помощи MathCAD.

Разложение передаточной функции замкнутой САР на элементарные дроби выполняется в программе MathCAD:

(48)

Переход от операторной формы к z –форме выполняется по формуле:

Wз(z) =, (49)

где - фиксатор нулевого порядка,

– z-форма непрерывной части системы автоматического регулирования.

Передаточная функция в z-форме с учётом времени дискретизации T₀=65c имеет вид:

(50)

Подученное выражение с точностью входящих в него величин до 3-го порядка преобразуется к виду:

(51)

и далее

. (52)

Проверка устойчивости передаточной функции в z-форме выполняется по корням характеристического уравнения передаточной функции системы в z-форме:

. (53)

Определение корней характеристического уравнения выполняется в программе MathCAD:

(54)

Таким образом, с достаточной степенью точности имеем 3 корня характеристического уравнения, которые находятся внутри единичной окружности. Следовательно, заданная система автоматического регулирования является устойчивой.

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

5.1 Построение ЛАЧХ

Для исследования системы с включенным МП, который является дискретным элементом, необходимо осуществить Ζ-преобразование передаточной функции (44) разомкнутой системы.

Разложение передаточной функции на элементарные дроби выполняется в программе MathCAD:

. (55)

Переход от операторной формы к z-форме выполняется по формуле (49). Передаточная функция в z-форме с учётом времени дискретизации T₀=65c примет вид:

(56)

Осуществим переход от найденной передаточной функции в z-форме к её частотному выражению через псевдочастоту λ путем применения билинейного преобразования z= и последующей замены , где период дискретизации примем равным 65:

(57)

По полученной передаточной функции строим асимптотическую ЛАЧХ системы от псевдочастоты  (рисунок 5).