![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной
- •4. Односторонние производные.
- •§2. Понятие дифференцируемости функции
- •§ 3. Формулы и правила вычисления производных
- •7. Простейшие правила вычисления производных.
- •12. Формула для приращения функции.
- •13. Правило дифференцирования сложной функции.
- •14. Правила дифференцирования обратных функций.
- •§ 4. Дифференциал функции
- •2. Геометрический смысл дифференциала.
- •3. Сводка формул для дифференциалов.
- •4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
- •§ 5. Производные высших порядков
- •2. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- •3. Механическое истолкование второй производной.
- •§ 6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 9. Формула Тейлора
- •2. Примеры разложения по формуле Тейлора.
- •§ 10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •1. Неопределенность вида .
- •2. Неопределенность вида .
- •§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
- •§ 12. Теория экстремальных значений функции
- •2. Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.
- •§ 13. Характер выпуклости кривой. Точки перегиба
- •§ 14. Асимптоты кривой
- •§ 15. Построение графика функции по характерным точкам
§ 9. Формула Тейлора
1.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки а
и имеет там конечные производные до
порядка
включительно. Значит, сама функция
и ее производные до порядка (
)
включительно непрерывны в окрестности
.
Утверждаем, что при этих условиях для
любого х
из
имеет место равенство
.
(1)
Здесь точка с есть некоторая точка, лежащая между точкой а и точкой х.
► Возьмем в
окрестности
любые две точки
и
(
)
и закрепим их. Введем в рассмотрение
число
,
(2)
откуда
.
(3)
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
.
(4)
Отметим, что:
1)
определена и непрерывна на промежутке
,
ибо на этом промежутке определены и
непрерывны
,
,
,
…,
.
2)
имеет конечную производную
в промежутке
,
ибо
,
(5)
а
,
,
…,
,
существуют конечные в
по условию. Из (5) после сокращения находим
.
3)
(
в
силу (3);
— это очевидно из (4)).
Видим, что функция
удовлетворяет всем трем условиям теоремы
Ролля. По этой теореме между точками
и
обязательно найдется хотя бы одна точка
с
такая, что будет:
,
т. е.
,
откуда
.
Подставив полученное
выражение для
в соотношение (3), будем иметь
.
(6)
откуда
.
(7)
У нас точки
и
— любые из
.
Положим в (7)
,
.
Получим
,
где точка с есть некоторая точка, лежащая между точками а и х. ◄
Формула (1) называется
формулой
Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа.
(Остаточным членом называют
).
Заметим, что
остаточный член в форме Лагранжа
напоминает очередной член формулы
Тейлора; только
-я
производная вычислена не в точке а,
а в некоторой промежуточной точке с,
лежащей между точками а
и х.
Замечание.
При выводе формулы Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа мы предполагали,
что функция
имеет в промежутке
конечные производные до порядка
включительно, из этого следовало, что
сама функция
и ее последовательные производные до
порядка (
)
включительно непрерывны в промежутке
.
Что касается
,
то ее непрерывность не предполагалась.
Потребуем теперь дополнительно, чтобы
была непрерывной хотя бы в точке а.
Так как точка с
лежит между точками а
и х,
то
,
если
.
А тогда, в силу непрерывности
в точке а,
будем иметь:
.
Следовательно, можем написать
,
где
при
.
А тогда
,
где
при
.
Заметим, что
представляет собой бесконечно
малую величину более высокого порядка
по сравнению с бесконечно малой величиной
,
ибо
.
Поэтому можно
написать
при
.
Принимая во внимание все сказанное выше, будем иметь
.
(8)
Формула (8) называется
формулой
Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано. Формулу
(8) называют также локальной
формулой Тейлора.
Эта формула показывает, что, заменив
в окрестности точки а
ее многочленом Тейлора
,
мы совершим ошибку,
которая при
представляет собой бесконечно малую
более высокого порядка, чем
.
Замечание 1.
В частном случае, когда
,
формулы Тейлора (1) и (8) называют формулами
Маклорена
с остаточными членами в форме Лагранжа
и Пеано соответственно. Это будут
следующие формулы:
,
(1а)
где
;
.
(8а)
Замечание 2. Формула Тейлора имеет важные применения во многих вопросах математического анализа и его приложений. В частности, во многих случаях она позволяет функцию сложной природы с большой степенью точности заменить полиномом, т. е. функцией более простой; дает простой способ приближенного вычисления значений функции.
Замечание 3.
Пусть
,
.
Форула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа запишется так:
или
.