![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной
- •4. Односторонние производные.
- •§2. Понятие дифференцируемости функции
- •§ 3. Формулы и правила вычисления производных
- •7. Простейшие правила вычисления производных.
- •12. Формула для приращения функции.
- •13. Правило дифференцирования сложной функции.
- •14. Правила дифференцирования обратных функций.
- •§ 4. Дифференциал функции
- •2. Геометрический смысл дифференциала.
- •3. Сводка формул для дифференциалов.
- •4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
- •§ 5. Производные высших порядков
- •2. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- •3. Механическое истолкование второй производной.
- •§ 6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 9. Формула Тейлора
- •2. Примеры разложения по формуле Тейлора.
- •§ 10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •1. Неопределенность вида .
- •2. Неопределенность вида .
- •§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
- •§ 12. Теория экстремальных значений функции
- •2. Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.
- •§ 13. Характер выпуклости кривой. Точки перегиба
- •§ 14. Асимптоты кривой
- •§ 15. Построение графика функции по характерным точкам
§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Бывают случаи,
когда зависимость переменной
от переменной
не задана непосредственно, а вместо
этого задана зависимость обеих переменных
и
от некоторой третьей, вспомогательной,
переменной t
(называемой параметром):
(1)
Считаем, что функции
,
определены на одном и том же промежутке
.
Пусть точка
и пусть в окрестности
точки
функции
и
имеют нужное количество конечных
производных по переменной
.
Будем предполагать, что
в
и что функция
строго монотонная в
.
Но тогда, как мы знаем, у функции
существует обратная
функция
,
определенная в окрестности
точки
(
;
— образ
при отображении
).
Отметим, что функция
в
будет непрерывной, строго монотонной
и имеющей конечную производную
.
Подставив
в соотношение
,
получим
.
(2)
Видим, что
можно рассматривать как функцию
независимой переменной х,
а переменную
считать промежуточным аргументом. По
правилу дифференцирования сложной
функции имеем:
.
Так как
,
то окончательно получаем
.
(3)
Пример. Пусть
.
Имеем,
.
Значит
Чтобы найти
,
поступаем следующим образом. Замечаем,
что функция
параметрически задается уравнениями
где
.
А тогда, по установленному выше (см. (3)), находим
.
В нашем примере
.
Аналогично, считая,
что функция
задана параметрически уравнениями
где
,
находим
и т. д. И вообще для
любого
получаем
.
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Если
в точке
имеет конечную или бесконечную, но
определенного знака производную, то
будем говорить, что функция
в точке
имеет
определенную производную.
1. Теорема Ферма.
Пусть функция
определена на замкнутом промежутке
и пусть в некоторой внутренней точке с
этого промежутка (т. е. в точке
)
принимает либо свое наибольшее, либо
свое наименьшее значение. Тогда, если
в этой точке с
функция
имеет определенную производную, то
обязательно
.
► Пусть, для
определенности,
в точке с
принимает свое наибольшее значение.
Тогда для всех
будет
.
1). Возьмем
— любое, но такое, что
и точка
.
Имеем
.
Значит,
,
и, следовательно,
,
т. е.
.
(*)
2). Возьмем теперь
— любое, но такое, что
и точка
.
Имеем
.
Значит,
,
и, следовательно,
,
т. е.
.
(**)
По условию функция
в точке с
имеет определенную производную. Поэтому
правосторонняя и левосторонняя
производные функции
в точке с
должны совпадать. Но из (*) и (**) следует,
что осуществление соотношения
возможно лишь тогда, когда
и
,
т. е. когда
.
◄
Геометрическая
интерпретация теоремы Ферма состоит в
том, что если в точке
функция
принимает наибольшее или наименьшее
значение, то касательная к графику
функции
в точке
параллельна оси Ох
(см. рис. 4.9).
Замечание.
Доказанная теорема неприменима, если
функция
принимает свое наибольшее или наименьшее
значение на концах промежутка
.
Так, например, функция
,
рассматриваемая на промежутке
,
принимает в точке
наименьшее значение, а в точке
— наибольшее значение. Однако
,
(см. рис. 4.10).
Рис. 4.10.
Теорема неприменима
и в том случае, когда функция
принимает свое наибольшее или наименьшее
значение во внутренней точке с промежутка
,
но не имеет в точке с
определенной производной. Так, например,
функции
и
,
рассматриваемые в промежутке
принимают в точке
свое наименьшее значение. Однако, для
функции
имеем:
,
,
а для функции
имеем:
,
(см. рис. 4.11 и 4.12).
Рис. 4.11. Рис. 4.12.
2. Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
-
определена и непрерывна на замкнутом промежутке
;
-
имеет определенную производную
хотя бы в открытом промежутке
;
-
принимает равные значения на концах промежутка, т. е.
.
Тогда между точкой
а
и точкой b
найдется, по крайней мере, одна точка
с,
в которой производная функции обращается
в нуль, т.е.
.
► По условию
функция
определена и непрерывна в замкнутом
промежутке
.
Значит,
достигает в этом промежутке как своего
наибольшего
,
так и своего наименьшего
значений. Значит, для всех
будет:
.
(1)
Могут реализоваться
два случая: 1)
и 2)
.
1). Если
,
то из неравенства (1) следует, что все
значения
функции
в промежутке
равны между собой, т. е.
,
,
и, следовательно,
для всех
.
2). Если
.
В этом случае хотя бы одно из двух
значений
или
функция
принимает во внутренней точке с
промежутка
(так как иначе, ввиду того, что
,
мы имели бы, что
,
а это не так). Видим, что у нас выполнены
все условия теоремы Ферма. Значит,
.
◄
Геометрически
теорема Ролля означает следующее: если
крайние ординаты графика функции
равны, то на кривой обязательно найдется
точка, где касательная параллельна оси
Ох
(см. рис. 4.13).
Обращаем внимание
на то, что непрерывность функции
на замкнутом промежутке
и существование определенной производной
во всем открытом промежутке
существенны для верности заключения
теоремы.
Функция
в промежутке
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля, за исключением того, что имеет
разрыв в точке
Имеем
для всех
,
т. е.
не обращается в нуль ни в одной точке
промежутка
.
Функции
и
,
рассматриваемые в промежутке
,
удовлетворяют всем условиям теоремы
Ролля, за исключением того, что в точке
не имеют определенной (двусторонней)
производной.
Для функции
имеем:
,
если
,
и
,
если
=>
для
.
Для функции
имеем:
для
(см. рис. 9 и 10).
Точно так же
существенно и условие 3) теоремы:
.
Функция
в промежутке
]
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля, за исключением условия 3):
.
Для функции
имеем:
для всех
=>
не обращается в нуль ни в одной точке
промежутка
.
Частный случай
(теоремы Ролля).
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
-
определена и непрерывна на замкнутом промежутке
;
-
дифференцируема во всех точках в открытого промежутка
;
-
обращается в нуль на концах промежутка
, т. е.
.
Тогда существует
хотя бы одна точка
,
в которой производная
обращается в нуль.
Короче: между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль ее производной.
3. Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
-
определена и непрерывна на замкнутом промежутке
;
-
имеет определенную производную
хотя бы в открытом промежутке
;
Тогда между точкой а и точкой b найдется, по крайней мере, одна точка с такая, в которой имеет место равенство:
.
► Для доказательства введем в рассмотрение вспомогательную Функцию
.
Отметим, что:
-
определена и непрерывна на замкнутом промежутке
, ибо
определена и непрерывна на
;
-
имеет определенную производную
хотя бы в открытом
промежутке
, ибо в
существует определенная производная
;
-
.
Видим, что функция
удовлетворяет всем трем условиям теоремы
Ролля. Следовательно, между точкой а
и точкой b
обязательно найдется хотя бы одна точка
с
такая, что будет
,
т. е.
,
а значит,
.
◄
Полученную формулу называют формулой конечных приращений Лагранжа. Приведем другие формы записи формулы Лагранжа.
1.
,
где
.
(*)
Заметим, что формуле (*) можно придать и такой вид:
,
откуда следует
несущественность того, будет ли
или, наоборот,
.
2. Пусть
.
Из каждого члена этого неравенства
вычтем а.
Получим
.
Так как
,
то все члены последнего неравенства
можно поделить на
.
Будем иметь
.
Обозначим
(это — обычное обозначение величины,
лежащей между 0 и 1). Отсюда
.
Поэтому формулу Лагранжа можно записать
в виде
.
3. Рассмотрим
промежуток
,
т. е. положим
,
.
Тогда
,
и формула Лагранжа запишется в виде
.
Следствие из
теоремы Лагранжа.
Пусть функция
определена и непрерывна в окрестности
точки
.
Пусть
имеет конечную производную
в проколотой окрестности
точки
.
Тогда, если существует конечный или
бесконечный предел
,
то существует и производная
,
равная этому пределу.
► Дадим
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
В промежутке
применим к функции
теорему Лагранжа. Будем иметь
,
откуда
.
Если положить
,
то очевидно, что
,
если
,
причем
.
Поэтому
.
Это означает, что
существует, и справедливо равенство
.
◄
4. Теорема Коши.
Пусть имеются две функции
и
,
удовлетворяющие следующим условиям:
-
и
определены и непрерывны на замкнутом промежутке
;
-
и
имеют конечные производные
и
хотя бы в открытом промежутке
;
-
для всех
:
.
Тогда между точками а и b обязательно найдется по крайней мере одна точка с такая, в которой имеет место равенство
.
► Заметим сначала,
что
.
Действительно, если предположить, что
,
то функция g(x)
будет удовлетворять всем трем условиям
теоремы Ролля, и тогда по этой теореме
между точками a
и b обязательно найдется хотя бы одна
точка
такая, что будет
.
А это невозможно, ибо по условию
для всех
.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
.
(*)
Замечаем, что:
1)
определена и непрерывна на замкнутом
промежутке
,
ибо
и
определены и непрерывны на
2)
имеет конечную производную
хотя бы в открытом
промежутке
,
ибо в
существуют конечные производные
и
;
3)
(в этом убеждаемся непосредственной
подстановкой в выражение (*) для
значений
и
).
Видим, что функция
удовлетворяет всем трем условиям теоремы
Ролля. Следовательно, между точками а
и b
обязательно найдется хотя бы одна точка
с
такая, что будет
,
т. е.
,
а значит,
.
◄
Установленная формула называется формулой Коши.
Замечание 1.
В условии 2) теоремы можно допустить,
что
и
могут принимать в промежутке
и бесконечные, но определенного знака,
значения. Только эти бесконечные значения
они не должны принимать в одной и той
же точке.
Замечание 2.
Формула конечных приращений Лагранжа
является частным случаем формулы Коши,
когда
,
.
Замечание 3.
Формула Коши, так же как и формула
Лагранжа, имеет место не только когда
,
но и в случае, когда
.