![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной
- •4. Односторонние производные.
- •§2. Понятие дифференцируемости функции
- •§ 3. Формулы и правила вычисления производных
- •7. Простейшие правила вычисления производных.
- •12. Формула для приращения функции.
- •13. Правило дифференцирования сложной функции.
- •14. Правила дифференцирования обратных функций.
- •§ 4. Дифференциал функции
- •2. Геометрический смысл дифференциала.
- •3. Сводка формул для дифференциалов.
- •4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
- •§ 5. Производные высших порядков
- •2. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- •3. Механическое истолкование второй производной.
- •§ 6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 9. Формула Тейлора
- •2. Примеры разложения по формуле Тейлора.
- •§ 10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •1. Неопределенность вида .
- •2. Неопределенность вида .
- •§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
- •§ 12. Теория экстремальных значений функции
- •2. Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.
- •§ 13. Характер выпуклости кривой. Точки перегиба
- •§ 14. Асимптоты кривой
- •§ 15. Построение графика функции по характерным точкам
§ 12. Теория экстремальных значений функции
1. Определение.
Пусть функция
определена в некотором промежутке X
пусть точка х0
есть внутренняя точка промежутка X.
I. Если существует
-окрестность
точки х0
такая, что
и что для всех
оказывается
,
то говорят, что
функция
имеет в точке х0
максимум.
Если при этом для всех
оказывается
,
то говорят, что
функция
имеет в точке х0
строгий
максимум.
II. Если существует
-окрестность
точки х0
такая, что
и что для всех
оказывается
,
то говорят, что
функция
имеет в точке х0
минимум.
Если при этом для всех
оказывается
,
то говорят, что
функция
имеет в точке х0
строгий
минимум.
Из этих определений
следует, что понятия «максимум» и
«минимум» имеют локальный характер. У
функции
в промежутке X
может быть несколько максимумов и
минимумов.
Не следует, поэтому
путать понятия максимума и минимума
функции
с понятиями наибольшего и наименьшего
значения этой функции на всем промежутке
X.
Вместо отдельных наименований «максимум» и «минимум» употребляют объединяющее их наименование — «экстремум».
Теорема 1.
Пусть функция
определена в промежутке X
и во внутренней точке
имеет экстремум. Тогда, если у функции
в точке х0
существует конечная производная
,
то обязательно
.
► Пусть для
определенности функция
имеет в точке х0
максимум. Но тогда существует
-окрестность
точки х0
такая, что
и для всех
:
,
(1)
Дадим х0
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
В силу соотношения (1) ясно, что .
.
Если
,
то
,
т. е.
.
(*)
Если
,
то
,
т. е.
.
(**)
По условию функция
в точке х0
имеет конечную производную
.
Но тогда должно быть:
.
Совместное же осуществление соотношений
(*) и (**) возможно лишь тогда, когда
.
Случай, когда
функция
имеет в точке х0
минимум, рассматривается совершенно
аналогично. ◄
Из теоремы 1 вытекает
важное следствие:
точки, в которых функция имеет экстремум,
следует искать среди точек, в которых
либо
,
либо
,
либо
не существует. Все эти три случая
реализуются для функций: 1)
,
2)
,
3)
(см. рис. 4.14,
4.15,
4.16).
|
|
|
Рис. 4.14. |
Рис. 4.15. |
Рис. 4.16. |
Каждая из этих
трех функций в точке
имеет минимум.
Те точки, в которых
,
а также те точки, в которых производная
бесконечна или не существует, но сама
функция
непрерывна, называются критическими
точками
функции
.
Те точки, в которых
,
будем называть подозрительными
на гладкий экстремум,
а точки, в которых
бесконечна или не существует, —
подозрительными
на острый экстремум.
Отметим, что не в
каждой критической точке функция
обязательно имеет экстремум. Так,
например, точка
является критической для каждой из
функций: 1)
,
2)
,
3)
.
Однако ни одна из этих функций в точке
не имеет экстремума (см. рис. 4.17, 4.18,
4.19).
|
|
|
Рис. 4.17. |
Рис. 4.18. |
Рис. 4.19. |
Следовательно,
для решения задачи нахождения экстремумов
функции
требуется найти признаки, которые
позволяли бы судить, имеется ли в данной
критической точке экстремум функции
или нет; а если имеется, то максимум это
или минимум.
Теорема 2.
Пусть функция
определена и непрерывна в промежутке
X.
Пусть точка х0
— внутренняя точка промежутка X.
Пусть точка х0
— критическая точка функции
.
Пусть в некоторой проколотой
-окрестности
точки х0
функция
имеет конечную производную
,
причем
сохраняет знак как в
,
так и в
(в каждой полуокрестности
сохраняет свой знак). Тогда:
-
если для
производная
, а для
производная
, т. е. если при переходе через точку х0 производная
меняет знак с "+" на "–", то функция
имеет в точке х0 строгий максимум;
-
если для
производная
, а для
производная
, т. е. если при переходе через точку х0 производная
меняет знак с "–" на "+", то функция
имеет в точке х0 строгий минимум;
-
если при переходе через точку х0 производная
знака не меняет, т. е. либо
как для
, так и для
либо
как для
, так и для
, то функция
в точке х0 не имеет экстремума.
► Возьмем в
любую точку х.
Заметим, что: 1) функция
определена и непрерывна в замкнутом
промежутке
;
2)
имеет конечную производную
в промежутке
.
Видим, что выполнены условия теоремы
Лагранжа. Поэтому имеем
.
(*)
Рассмотрим случай
1):
для
,
для
.
Имеем: если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т. е.
для
.
Имеем, далее, если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т. е.
для
.
Получили, таким образом, что
для всех
.
А это означает, что функция
имеет в точке х0
строгий максимум.
Рассмотрим случай
2):
для
,
для
.
Имеем: если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т. е.
для
.
Имеем, далее, если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т. е.
для
.
Получили, таким образом, что
для всех
.
А это означает, что функция
имеет в точке х0
строгий минимум.
Рассмотрим случай
3): при переходе
через точку х0
производная
не меняет знак; пусть для определенности:
для
и
для
.
Имеем: если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т.е.
для
.
Значит, в точке х0
у функции
нет максимума. Имеем, далее, если
,
то и точка
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
А тогда из соотношения (*) следует, что
,
т. е.
для
.
Это означает, что у функции
в точке х0
нет минимума.
Общий вывод:
у функции
в точке х0
нет экстремума. Совершенно аналогично
можно убедиться, что у функции
в точке х0
нет экстремума, если
как для
,
так и для
.
◄
Замечание 1.
Теорема 2 позволяет полностью решить
вопрос об отыскании экстремумов функции
,
удовлетворяющей следующим условиям:
1)
определена и непрерывна на промежутке
;
2)
имеет в
конечное число критических точек
(считаем, что
);
3) в каждом из
промежутков:
существует конечная непрерывная
производная
.
Практически исследование функции на экстремум происходит следующим образом.
1) Находят все
критические точки функции
и располагают их в порядке возрастания.
2) Каждое критическое
значение аргумента испытывают на
изменение знака производной
.
Для этого берут два значения аргумента
и
(
меньше, а
больше исследуемого критического
значения аргумента). При этом должно
быть соблюдено условие, чтобы
и
были ближе к исследуемому критическому
значению аргумента, чем ближайшие
критические точки. Затем определяют
знаки чисел
и
.
Могут реализоваться следующие случаи:
|
|
|
+ |
– |
max |
– |
+ |
min |
+ |
+ |
нет экстремума |
– |
– |
нет экстремума |
Пример.
Исследовать на экстремум функцию
.
► Функция
определена и непрерывна на промежутке
.
Имеем
.
Точки
и
— критические точки функции
.
Точка
— подозрительна на острый экстремум,
а точка
— подозрительна на гладкий экстремум.
Испытываем точку
.
Пусть
,
.
Имеем
;
.
Вывод:
в точке
функция
имеет строгий максимум (острый)
.
Испытываем точку
.
Пусть
,
.
Имеем
;
.
Вывод:
в точке
функция
имеет строгий минимум (гладкий)
.
Имеем
;
.
На рис. 4.20
представлена схема графика функции
.
|
Рис. 4.20. |
Замечание 2.
Изложенный выше способ позволяет
исследовать на экстремум функции,
имеющие в промежутке
конечное число разрывов, при условии,
что в каждом промежутке между соседними
точками разрывов функции
,
выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1.
Пример.
Исследовать на экстремум функцию
.
► область
существование функции
:
.
.
Точка
— точка разрыва второго рода. Имеем
.
Видим, что
в точках
и
.
Во всех остальных точках области
существования функции производная
существует конечная. В
каждом из промежутков
и
выполнены условия 1), 2), 3) замечания 1.
Точки
и
подозрительны на гладкий экстремум.
Испытываем точку
.
Пусть
,
(важно, что
).
Имеем
;
.
Вывод:
в точке
функция
имеет строгий максимум
.
|
Рис. 4.21. |
Испытываем точку
.
Пусть
(важно, что
),
.
Имеем
;
.
Вывод:
в точке
функция
имеет строгий минимум (гладкий)
.
Имеем
.
На рис. 4.21
представлена схема графика функции
.