4. Односторонние производные.

I. Пусть функция определена в точке х₀ и в некоторой правосторонней окрестности u⁺(x₀) этой точки. В этом случае для вычисления предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь справа (; стремится к нулю, оставаясь больше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции в точке x₀ и обозначается .

II. Пусть функция определена в точке x₀ и в некоторой левосторонней окрестности u^-(x₀) этой точки. В этом случае при вычислении предела отношения приходится ограничиться приближением к нулю лишь слева (; стремится к нулю, оставаясь меньше нуля).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел , то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции в точке х₀ и обозначается .

Замечание. Об односторонних производных функции в точке х₀ можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности u(x₀) точки x₀ (т. е. определена одновременно и в u⁺(x₀) и в u^-(x₀)).

Для функции , определенной в u(x₀), справедливы утверждения:

1. Если у функции в точке x₀ существует конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , то у этой функции в точке x₀ существуют одновременно и , причем .

2. Если у функции в точке x₀ существуют одновременно конечные или бесконечные (определенного знака) и и если , то у этой функции в точке х₀ существует соответственно конечная или бесконечная (определенного знака) обычная (т. е. двусторонняя) производная , равная общему значению односторонних производных.

Отметим, что бывают случаи, когда у функции в точке х₀ существуют одновременно и , но . В этих случаях обычной (т. е. двусторонней) производной у функции в точке х₀ нет.

В качестве примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Если , то и, следовательно,

.

Если , то и, следовательно,

.

Видим, что . Значит, производная функции в точке в обычном смысле (т. е. двусторонняя) не существует.

В качестве еще одного примера рассмотрим функцию . Найдем правостороннюю и левостороннюю производные этой функции в точке . Имеем

.

Следовательно,

;

.

Видим, что и в этом примере . Значит, у функции в точке не существует обычной (т. е. двусторонней) производной.

Графики функций и имеют вид, схематически изображенный на рис. 4.7 и 4.8 соответственно.

Рис. 4.7. не существует	Рис. 4.8. не существует

§2. Понятие дифференцируемости функции

1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Пусть функция определена в некотором промежутке X, и пусть точка . Дадим значению х₀ аргумента приращение — любое, но такое, что и точка . Пусть , т.е. есть приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

, (1)

где А — некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента такая, что при . Заметим, что функция в точке может принимать любое значение (при этом в точке х₀ представление (1) остается справедливым). Ради определенности можно положить, например, . (Тогда частное значение функции в точке будет совпадать с ее предельным значением в этой точке.)

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Необходимость. Дано: функция дифференцируема в точке х₀. Требуется доказать, что существует конечная производная .

► По условию функция дифференцируема в точке х₀. Но тогда приращение этой функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента , представимо в виде

,

где при . Предположив, что и поделив обе части последнего равенства на , получим

.

Переходя здесь к пределу при , находим . А это означает, что существует конечная, причем . ◄

Достаточность. Дано: функция имеет в точке х₀ конечную производную . Требуется доказать, что функция дифференцируема в точке х₀.

► По условию — существует конечная. Но тогда, как мы знаем, разность есть бесконечно малая функция при . Значит, если положить , то . Имеем, следовательно,

,

откуда

причем при . Видим, что полученное представление совпадает с представлением (1), если обозначить через А не зависящее от число . Тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке х₀. ◄

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что дифференцируемость функции в точке х₀ равносильна существованию в этой точке конечной производной .

2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в точке х₀.

► Так как функция дифференцируема в точке х₀, то ее приращение в этой точке представимо в виде , где А — постоянное число, не зависящее от , а при . Из последнего равенства следует, что , т. е. что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции. А это означает, что функция непрерывна в точке х₀. ◄

Замечание. Доказанная теорема необратима: из непрерывности функции в точке х₀ не вытекает дифференцируемость этой функции в точке х₀. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не являющиеся в этой точке дифференцируемыми. Примером такой функции может служить функция . Эта функция непрерывна в точке , но она не является дифференцируемой в этой точке, ибо у нее в точке не существует производная (это показано в предыдущем § 1).