![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной
- •4. Односторонние производные.
- •§2. Понятие дифференцируемости функции
- •§ 3. Формулы и правила вычисления производных
- •7. Простейшие правила вычисления производных.
- •12. Формула для приращения функции.
- •13. Правило дифференцирования сложной функции.
- •14. Правила дифференцирования обратных функций.
- •§ 4. Дифференциал функции
- •2. Геометрический смысл дифференциала.
- •3. Сводка формул для дифференциалов.
- •4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
- •§ 5. Производные высших порядков
- •2. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
- •3. Механическое истолкование второй производной.
- •§ 6. Дифференциалы высших порядков
- •§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 9. Формула Тейлора
- •2. Примеры разложения по формуле Тейлора.
- •§ 10. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •1. Неопределенность вида .
- •2. Неопределенность вида .
- •§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
- •§ 12. Теория экстремальных значений функции
- •2. Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.
- •§ 13. Характер выпуклости кривой. Точки перегиба
- •§ 14. Асимптоты кривой
- •§ 15. Построение графика функции по характерным точкам
12. Формула для приращения функции.
Пусть функция
определена в промежутке Х
и пусть х0
— некоторая точка из X,
в которой существует конечная производная
.
Дадим
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Положим
.
(*)
Ясно, что
зависит от
,
т. е.
,
и что
.
Из соотношения (*) находим
,
или
.
(**)
Формула (**) и есть формула для приращения функции.
Замечание.
Формула (**) установлена для
,
ибо она выведена из (*), а соотношение
(*) теряет смысл при
.
Если мы сами любым образом доопределим
функцию
в точке
(например, положим
или
и т. д.), то формула (**) окажется верной и
для
.
Условимся раз и навсегда полагать
.
Тогда формула (**) будет верной как для
,
так и для
и соотношение
будет верно независимо от того, по какому
закону
(хотя бы
и принимало значение нуль).
13. Правило дифференцирования сложной функции.
Пусть функция
определена в промежутке
,
а функция
определена в промежутке X
и такая, что если
то
.
Тогда для
имеет смысл выражение
(
— сложная функция). Предположим, что в
точке
существует конечная производная
,
а в точке
(
)
существует конечная производная
.
Покажем, что существует конечная
и найдем ее.
Дадим х0
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда функция
получит приращение
(не исключено, что
).
Так как
,
то приращению
отвечает приращение
.
По формуле приращения функции (**) (см. пункт 12)
,
где
при
.
А тогда
,
Пусть
.
Но тогда
(ибо функция
дифференцируемая в точке х0,
а значит и непрерывная в точке х0).
А, следовательно, и
при
.
Значит,
,
т. е.
.
Показано, таким образом, что
существует конечная и что
(короче:
).
Правило цепочки.
Производная сложной функции по независимой
переменной равна ее производной по
промежуточной переменной, умноженной
на производную промежуточной переменной
по независимой переменной. (Здесь
— промежуточная переменная).
Пример.
1)
,
где
.
Имеем
.
Правило.
Если для
получения значения
нужно произвести над х
много действий, то для применения правила
цепочки следует обозначить через
результат всех этих действий, кроме
последнего. Например,
-
если
, то
, где
;
-
если
, то
, где
;
-
если
, то
, где
.
Пример.
1) Пусть
,
тогда
.
14. Правила дифференцирования обратных функций.
Пусть функция
определена в промежутке
и является там строго монотонной и
непрерывной. Было показано ранее, что
тогда у функции
имеется обратная функция
,
определенная в промежутке
,
причем эта функция в промежутке
также строго монотонная и непрерывная.
(Здесь
есть множество значений, принимаемых
функцией
на промежутке
).
Пусть у функции
в точке
существует конечная отличная от нуля
производная
.
Покажем, что тогда у функции
в соответствующей точке
также существует конечная производная,
причем
(короче:
).
► Дадим
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда функция
получит приращение
.
Отметим, что в силу
строгой монотонности функции
,
если
.
Отметим далее, что
в силу непрерывности функции
,
если
.
Имеем очевидное
равенство
.
Перейдем в этом равенстве к пределу при
.
Получим
.
По условию
— существует конечный, отличный от
нуля. Но тогда существует конечный
,
т. е. существует
,
причем
.
◄
Итак, производные взаимно-обратных функций есть величины взаимно-обратные.
Исходя из этого, можно получить формулы для производных обратных тригонометрических функций.
15.
.
► Эта функция
является обратной для функции
,
которая для
имеет конечную отличную от нуля
производную
.
Но тогда функция
для
имеет конечную производную, причем
.
Перед радикалом взят знак «+», ибо
для
.
Так как
,
то получаем окончательно
,
т. е.
Отметим, что
значения
были исключены, т. к. для соответствующих
значений
:
.
◄
16.
.
► Эта функция
является обратной для функции
,
которая для
имеет конечную отличную от нуля
производную
.
Но тогда функция
для
имеет конечную производную, причем
.
Перед радикалом взят знак «+», ибо
для
.
Так как
,
то получаем окончательно
,
т. е.
И здесь значения
были исключены, т. к. для соответствующих
значений
и
:
.
◄
17.
.
► Эта функция
является обратной для функции
,
которая для
имеет конечную отличную от нуля
производную
.
Но тогда функция
для
имеет конечную производную, причем
.
Так как
,
то получаем окончательно
,
т. е.
◄
18.
.
► Эта функция
является обратной для функции
,
которая для
имеет конечную отличную от нуля
производную
.
Но тогда функция
для
имеет конечную производную, причем
.
Так как
,
то получаем окончательно
,
т. е.
◄