Глава 4 Производная и дифференциал § 1. Производная. Механический и геометрический смысл производной

1. Определение производной. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим значению аргумента приращение любое, но такое, что и точка . Тогда функция получит приращение .

Составим отношение и станем искать предел этого отношения при . Если существует конечный или бесконечный, но определенного знака, предел или, что то же самое, , то этот предел называется производной от функции по переменной в точке .

Для обозначения производной употребляются символы

.

Если предел — конечен, то производная называется конечной, если он бесконечен, то производная называется бесконечной. Процесс нахождения производной от функции называют дифференцированием этой функции; точку , в которой вычисляется производная, называют точкой дифференцирования.

2. Механическое истолкование производной (задача о скорости движущейся точки). Пусть материальная точка М движется по прямой. Пусть за время t от начала движения точка M прошла путь, величина которого равна s. Ясно, что s является функцией времени .

Поставим задачу: найти скорость точки М в данный момент времени t. Для этого перейдем от момента t к моменту t + ∆t. За промежуток времени от t до t + ∆t точка М пройдет путь ∆s = f(t + ∆t) – f(t). Средняя скорость за промежуток времени от t до t + ∆t будет равна: .

Если рассматриваемое движение точки М не является равномерным, то будет изменяться при изменении величины ∆t. При этом чем меньше будет промежуток времени ∆t, тем лучше будет характеризовать движение точки М в момент t. Исходя из этого, скоростью точки М в момент t будем называть предел, к которому стремится средняя скорость , когда . Таким образом, скорость точки М в момент t определяется равенством или

.

Итак, производная от функции, описывающей закон движения точки М, определяет мгновенную скорость этой точки.

3. Геометрическое истолкование производной (задача о проведении касательной к кривой). Пусть имеется кривая , и пусть точка .

Рис. 4.2.

Определение. Касательной к кривой в точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М, проходящей через точку М₀ и некоторую другую точку М, лежащую на кривой , когда точка М вдоль кривой произвольным образом стремится к совпадению с точкой М₀ (рис. 4.2).

Пусть кривая является графиком функции . Пусть функция непрерывна в точке . Пусть , . Дадим приращение — любое, но такое, что и точка , и отметим на кривой точку .

Рис. 4.3.

Проведем секущую М₀М (рис. 4.3). Она имеет уравнение

, (1)

где

. (2)

Заметим, что равенство (2) справедливо при любом расположении кривой и при любом положении точки М относительно точки М₀ (справа или слева отточки М₀). Отметим, что при расстояние от точки М₀ до точки М стремится к нулю.

В самом деле, в силу непрерывности функции в точке будет: . А тогда при и, следовательно, точка М по кривой будет стремиться к совпадению с точкой М₀; секущая М₀М будет стремиться принять свое предельное положение М₀T; . У нас, по определению, предельное положение секущей при называется касательной к графику функции в точке М₀. Заметам, чго в силу равенства (2) существование конечного предела означает существование конечной производной . Следовательно, если у функции в точке х₀ существует конечная производная, то уравнение касательной к графику функции в точке будет иметь вид

, (3)

((3) получаем из (1), переходя в (1) к пределу при ).

Из аналитической геометрии известно, что коэффициент в уравнении (3) равен тангенсу угла, который прямая, определяемая уравнением (3), образует с положительным направлением оси Ох: .

Значит, производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.

Если у функции в точке x₀ существует бесконечная производная, т. е. , то в силу равенства (2) . А тогда, записав уравнение (1) секущей М₀М в виде

и перейдя в этом соотношении к пределу при , получим

. (4)

Уравнение (4) — уравнение касательной к графику функции в точке М₀ в случае, когда . (Прямая носит название вертикальной касательной к графику функции в точке М₀.)

Рис. 4.4.

Замечание. Подчеркнем еще раз, что когда мы говорим, что функция имеет в точке x₀ бесконечную производную, то мы имеем в виду бесконечность определенного знака. График функции в окрестности точки x₀ в этом случае имеет вид, схематически изображенный на рис. 4.5 и рис. 4.6.

рис. 4.5.	рис. 4.6.