4 РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ. ДЕЛЕНИЕ ЛСУ НА ИЗМЕНЯЕМУЮ И НЕИЗМЕНЯЕМУЮ ЧАСТИ.

К неизменяемой части локальной системы управления относят типовые звенья, параметры которых физически изменить невозможно и передаточная функция которых по отношению к основному сигналу не равняется единице. Следовательно, к неизменяемой части относятся датчик угла поворота, двигатель, усилитель, редуктор, пружина, лента-транспортер.

К изменяемой части относится микропроцессор, потому что его передаточная функция зависит от управляющей программы и может меняться.

Определим устойчивость неизменяемой части САУ, принимая передаточную функцию программного устройства равной единице. Передаточные функции других элементов были найдены в пункте 3.

- передаточная функция усилительного устройства,

- передаточная функция двигателя,

- передаточная функция редуктора,

- передаточная функция датчика угла поворота,

- передаточная функция пружины,

- передаточная функция ленты транспортера.

Подставим найденные передаточные функции в структурную схему системы (рисунок 3).

Рисунок 3 – Структурная схема САУ беговой дорожкой

Передаточная функция неизменяемой части имеет вид:

( )

Проверим систему по критерию устойчивости Ляпунова, то есть для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Тогда найдем корни характеристического уравнения, получим:

Так как все корни характеристического уравнения лежат с лева от мнимой оси (левые корни) и имеют отрицательную вещественную часть, то САУ неизменяемой части будет устойчивой.

Построим переходный процесс САУ. Для этого проведем обратное преобразование Лапласа от передаточной функции САУ.

(24)

, (25)

График переходного процесса приведен на рисунке 4

Рисунок 4 – График переходного процесса САУ

По полученному переходному процессу определим показатели качества САР:

1. Установившееся значение h_уст=0,048

Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине.

(26)

2. Перерегулирование

(27)

3) Время переходного процесса t_п=24 с.

4. Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимума) t_н=0,36 c.

5) Время первого согласования (время, когда регулируемая величина в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,87 c.

О

(29)

пределим косвенные оценки качества. Для этого построим амплитудно-частотную характеристику (рисунок 5).

(28)

Рисунок 5 – Амплитудно-частотная функция САУ

1) Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения) ω_Р = 0,4938

2) Показатель колебательности

. (30)

3) Частота среза – частота, при которой АЧХ достигает значения, равного 1. Из графика следовательно _ср=0.

Проверим устойчивость изменяемой части САУ по критерию Михайлова.

Для того, чтобы импульсная САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до вектор, начав свое движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, вращался против часовой стрелки и нигде не обращался в ноль, обходя последовательно квандрантов комплексной плоскости, где - степень характеристического уравнения.

( )

( )

Проведем z-преобразование передаточной функции САУ.

(31)

Разделим передаточную функцию на и разобьем полученное уравнение на простые дроби.

( )

( )

Далее по таблице z--преобразования для передаточных функций преобразуем передаточные функции каждого звена структурной схемы и только затем найдем общую передаточную функцию. Период дискретизации , получим:

(33)

умножим на , и после упрощений получим следующий вид передаточной функции:

(34)

Таким образом, получили характеристическое уравнение в z – форме вида:

(35)

Проверим систему на устойчивость по критерию Михайлова, для этого перейдем к псевдочастоте, то есть введем замену , получим:

(36)

По полученному уравнению построим годограф

Рисунок - Годограф САУ

Система устойчивой, так как необходимое и достаточное условие выполняется, то есть годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, на число квадрантов равное порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты и нигде не обратился в ноль.