Тема 9. Сетевое моделирование

В современных условиях при реализации многих проектов выполняются тысячи взаимосвязанных работ - операций. Сети оказались естественным и удобным средством для описания и анализа сложных проектов. Обозримость сетевого графика или его частей значительно облегчает восприятие существа всей системы, взаимосвязей всех работ, упрощает последующий процесс по руководству системой при её реализации.

Сущность сетевого моделирования состоит в графическом изображении комплекса взаимосвязанных работ.

В основе построения сетевого графика лежат три основных понятия: путь, работа, событие.

Каждая отдельная работа, входящая в комплекс (проект) требует затраты определенного времени. Некоторые работы могут выполняться только в определенном порядке.

При выполнении комплекса работ всегда можно выделить ряд событий, т.е. итогов какой-то деятельности, позволяющих приступить к выполнению следующих работ. Назовем несколько событий: проект утвержден, площадка для строительства расчищена, котлован вырыт, фундамент установлен.

Если каждому событию поставить в соответствие вершину графа, а каждой работе – ориентированное ребро, то получится некоторый граф. Он будет отражать последовательность выполнения отдельных работ и наступлений событий в едином комплексе.

Упорядоченная группа дуг, в которой каждая вершина (исключая первую и последнюю) является общей точкой для двух дуг в группе, называется путем.

Термин “работа” в сетевом планировании используется в широком смысле:

1. Действительная работа – любой трудовой процесс, требующий затрат труда, времени и материальных ресурсов.

2. Ожидание – пассивный процесс, не требующий затрат труда и материальных ресурсов, но требующий затрат времени (твердение бетона, сушки штукатурки).

3. Фиктивная работа – чисто условная зависимость между событиями, которая вводится только для удобства изображения сети. Фиктивная работа не связана с затратами труда, времени, ресурсов.

На сетевом графике действительная работа и ожидание изображаются сплошными стрелками, а фиктивная работа – штриховыми стрелками.

Событие определяет факт получения результата. Оно имеет продолжительность во времени, свершение события есть лишь фиксация окончания какого-либо процесса, определяемого данным событием.

1.Исходное событие - начало выполнения проекта.

2.Завершающее событие - достижение конечной цели проекта.

3.Промежуточное событие - результат выполнения одной или нескольких работ, позволяющий приступать к выполнению последующих работ.

Любая стрелка на сетевом графике соединяет только две вершины и отражает процесс перехода от одного события к другому. Поэтому любая работа может быть зашифрована парой чисел, соответствующих предшествующему и последующему событиям.

Параметры сетевой модели

t - продолжительность пути;

- ранний срок наступления события;

t_kp - продолжительность критического пути;

- поздний срок наступления события;

R( i ) - резерв времени событий ( i );

- ранний срок начала работы ( i j );

- поздний срок начала работы ( i j );

- ранний срок окончания работы ( i j );

- поздний срок окончания работы ( i j );

R_n( i j ) - полный резерв времени работы;

R_n^'( i j ) - частный резерв времени работы первого вида;

R_n^''( i j ) - частный резерв времени работы второго вида;

R_с( i j ) - свободный резерв времени работы;

R_n( ij ) - полный резерв времени пути ( ij );

K_n( ij ) - коэффициент напряжённости.

Ранний срок наступления события.

равен продолжительности самого длинного пути от начального события до данного события. , .

В самом деле, событие i не может наступить раньше, чем будет пройден самый длинный путь от начала сети до этого события. Работа на других путях после выполнения должны приостановиться до тех пор, пока не будут выполнены все работы наиболее длинного пути.

Продолжительность критического пути.

Путь, имеющий наибольшую продолжительность называется критическим путём ( t_kp ). Формулу его расчёта можно определить из формулы расчёта раннего срока наступления события. Если j = m - конечное событие сети, то есть длина критического пути.

Для определения времени, необходимого для реализации проекта, достаточно найти критический путь и вычислить его продолжительность.

Работы, лежащие на критическом пути называются критическими. От их продолжительности зависит общий срок завершение всего проекта.

Работы, не лежащие на критическом пути называются не критическими. Не критические работы допускают некоторое запаздывание в их выполнении, которое не задержит сроков реализации всего проекта.

Поздний срок наступления событий.

Это такое еще допустимое позднее наступление события, которое не вызывает задержки окончания всего проекта. Оно определяется путем вычитания из длины критического пути (t_kp) самого длительного пути от данного события до конечного события.

Резервом времени события i, будет величина=1 критического

пути ранние и поздние совпадают, а резервы времени равны нулю. Если каждому событию сетевого графика поставлено в соответствие число t( i ) из интервала , то говорят, что составлено расписание.

С помощью ранних и поздних сроков наступления событий определяются ранние и поздние сроки начала и окончания работ.

Ранний срок начала работы ( i j )

Равно раннему сроку наступления события i:

Поздний срок начала работы ( i j)

Зависит от позднего срока наступления события j. Работа должна быть завершена не позже этого срока: .

Ранний срок окончания работы ( i j )

Равен раннему сроку наступления события i плюс время выполнения работы t_ij: .

Поздний срок окончания работы ( i j )

Не должен превышать позднего срока наступления события j, поэтому

Полный резерв или запас времени

Это время, на которое можно перенести начало работы или увеличить срок её выполнения, не нарушая общего срока выполнения проекта:

Частный резерв времени работы первого вида

это часть полного резерва времени работы, которая может быть использована для увеличения её продолжительности при условии, что это не изменит позднего срока свершения её начального события: .

Это часть полного резерва времени работы, которая может быть использована для увеличения её продолжительности при условии, что это увеличение не вызовет изменения раннего срока свершения её конечного события: .

Свободный резерв времени работы

Это часть полного резерва времени работы, которая сохраняется у неё при условии, что начальное событие работы свершится в самый поздний срок, а конечное - в самый ранний

.

Для критического пути резервы всех его работ равно нулю. На других путях имеются работы с нулевым резервом времени.

Если увеличить время выполнения работы t_ij на её полный резерв, то работа станет критической. Весь резерв времени при этом будет затрачен на этой работе и остальные работы пути лишатся своих резервов.

Если увеличить время выполнения работы t_ij на величину её частного резерва первого вида, то нужно начинать работу не позже позднего срока наступления события ( i ) . Если частный резерв первого вида не будет полностью использован на работе ( i j ), то его можно использовать на последующих за ней работах некритического пути. Можно начинать эти работы позже поздних сроков наступления начальных событий или же просто увеличить продолжительность выполнения работ.

Если увеличить время выполнения работ t_ij на величину частного резерва второго вида , то эту работу можно завершить не ранние раннего наступления завершающего события (j).

Этот резерв можно использовать также на предшествующих работах ( i j ) некритического пути. При этом можно заканчивать предшествующие работы раньше раннего срока завершения конечных событий этих работ и за тем поджидать завершения других работ, входящих в данные собрания. Это равносильно увеличению продолжительности работ на величину ожидания.

Если у работы существует свободный резерв времени R_c( i j ), то его использование на этой работе не накладывает ограничений на предыдущие и последующие работы. Можно начать работу позже позднего срока наступления начального события и успеть выполнить её до наступления раннего срока конечного события.

По аналогии с введенными резервами времени для работ можно определить резервы времени для пути между событиями .

Полный резерв времени пути

Длиной будет величина .

Для путей, нигде не совпадающих с критическими, вводится характеристика, называемая коэффициентом напряженности .

Если путь соприкасается с критическими, то из числителя и знаменателя из предыдущей формулы вычитается общая длина тех участков пути , которые проходят по критическим путям. Разные пути могут при равных резервах или длинах иметь разную напряжённость. Коэффициент напряжённости указывает степень критичности пути. Для критического пути его принимают равным единице, а для остальных путей К_n находится в пределах от 0 до 1. Если коэффициент напряжённости пути близок к единице, то такой путь называют под критическим. По величине коэффициента напряжённости пути можно отнести к трём зонам:

Критическая зона с коэффициентом

Зона резервов, где проходят пути

промежуточная зона, где

Критической зоне в ходе выполнения работы сети должно уделяться больше внимания со стороны руководства.

При угрозе задержки работ этой зоны стараются привлечь дополнительные ресурсы из зоны резервов. Такое перераспределение ресурсов лежит в основе оптимизации сетевого графика.

Методы расчета параметров сетевой модели

Существует два основных метода ручного расчёта в решённых параметрах сетевого графика : 1) метод расчёта непосредственно на графе ; 2) табличный метод.

Расчет непосредственно на графе.

Каждое событие на сетевом графике изображают кружком, разделённым на четыре сектора .

В верхнем секторе записывают номер денного события , в левом - ранний срок наступления события, в левом – ранний срок наступления события , в правом – поздний срок , а в нижнем – номер предшествующего события через который проходит к данному событию путь максимальной продолжительности.

Счет ранних сроков ведут, двигаясь от начального события к исходному. В основу алгоритма расчета ранних сроков берут следующие рекуррентные соотношения =0 =МАХ [ =]

Здесь максимум берутся по всем работам входящим в событие j, U_j – множество таких работ: j = 1,2…m.

Таким образом, для вычисления раннего срока и наступления события нужно уже вычисленный ранний срок предшествующего события сложить с длительностью работы, идущей от предшествующего события к данному. Выбрав наибольшую из таких сумм, записывают её в левый сектор события j, а в нижнем секторе ставят номер j этой максимальной суммы.

(0) =0

(1) =0+1=1

(2) =ζ(1+3),(0+5) ζ=5

(3) = ζ(1+2),(5+6) ζ=11

(4) = ζ(5+5),(11+0) ζ=11

(5) = ζ(11+5),(11+3) ζ= 16

Число 16 представляет собой время выполнения всего проекта.

Путь, соответствующий этому времени, получить нетрудно. Шаг за шагом восстановим тот путь, который определит ранний срок наступления завершающего события, равный 16. От вершины 5 к вершине, ребро из которых определено (5) =16. Это (3,5). Из 3 в вершину (3) = 11. Это(2,3), Из 2 в вершину (2) =5.Это (0,2).Следовательно , ребра (0,2), (2.3) , (3,5) образуют критический путь. Работы, лежащие на этом пути являются критическими.

Поздние сроки вычисляют по формулам :

Минимум разности берут по всем работам, выходящим из события. (U⁺(i)- множество таких работ; i = m – 1 , … 1 , 0)

Для вычисления позднего срока наступления события вычитают из уже вычисленного позднего срока последующего события. длительность работы t (i, j ) от события i к событию j . выбрав наименьшую из таких разностей, записывают её в правый сектор события i.

В правый сектор завершающего события 5 поставим

Рассмотрим событие 4; t ( 4,5)=3, следовательно работа (4,5) может начаться не позднее чем за три недели до события 5. Поздний срок наступления события 4 равен 16–3=13.

Событие 3 отделено от события 5 работой (3,5) и от события 4 работой (3,4). Причем t(3,5) =5 a t(3,4)=0. Работа (3,5) может начаться не позднее, чем за 5 недель до события 5, а работа (3,4) эффективная , что не показывает зависимость событий 3 и 4 , а именно поздний срок события 3 не может быть больше 13 недель. То поздний срок наступления события определяется наименьшим из разностей.16-5=11 и 13-0=13 следовательно t⁽ⁿ⁾(3)=11

Событие 2 отделено от события 4 работой (2,4) и от события 3 работой (2,3). Выбираем наименьшую из разностей : 11-6=5 и 13-5=8 tⁿ(2)=5

Событие 1 отделено от 3 работы: (1,3) и от события 2 – работой (1,2). tⁿ(1)=min{[ t⁽ⁿ⁾(3)-t(1,3)]; [t⁽ⁿ⁾(2)-t(1,2)]}=min{[11-2];[5-3]}=min{9,2{=2 tⁿ(1)=2

Поздний срок наступления события 0 должен равняться 0.

Для событий і, лежащих на критическом пути раннее и поздние сроки наступлений совпадают t^(р)(і)= tⁿ(i)

Итог. Поздние сроки наступления событий по сетевому графику можно определить в следующем порядке:

1. Определить поздний срок наступления завершающего события tⁿ(k)= t^p(k)

2. От завершающего события идем последовательно к исходному. Для всякого промежуточного события і определяем поздние сроки начала всех работ, начинающихся сразу после этого, находим среди них самый ранний, который равен tⁿ(i)

Метод табличного расчета сетевых графиков.

Упорядоченная запись работ сетевого графика

1. последующая работа не может быть занесена в таблицу, если не будут зачислены все работы, ей предшествующие;

2. работы с общим начальным событием записываются подряд.

3. в графе 1 представляется количество работ, предшествующих событию i.

Первый этап

Для первых работ сети, исходящих из исходного события, t_ij^pн принимаем равным нулю и проставляем его в графу 4 во всех строках, в которых записаны работы, непосредственно следующие за исходным событием.

Определяется t_ij^pо путем сложения по каждой строке значений показателей записанных в графе 4 и графе 5, результат записываем в графе 6

Для расчета t_ij^pн последующей работы в одной из выше расположенных строк находим в графе 3 ниже начального события. Данной работы и значение t_ij^pо из этой строки ( глава 6) переписываем в главу 4 строки в качестве t_ij^pн данной работы, если в начальное событие данный результат входит несколько работ, то в качестве t_ij^pн из графы 6 выбираем наибольшее значение t_ij^pо предшествующих работ. Расчет ведется до тех пор, пока в последующей строке графы 6 не будет найдено значение t_ij^pо завершающее событие.

Bn(i j) вычисляется одновременно с определением ранних сроков начала начала и окончания работ. Bn(i j) образуется у некоторых работ, имеющих общее конечное событие, т.е. на пересечении разнонаправленных путей.

Если из графы 1 видно , что i-е событие входит более одной работы, то это значит что оно находится на пересечении разнонаправленных путей. Если в событие входит одна работа, то Bn(i j) этой входящей работы равен нулю. В среднем по каждой работе , оканчивающейся событием , в которое входит только одна работа , в графе 7 проставляют 0

Если в событие входят несколько работ, то по каждой такой работе находят Bn(i j) следующим образом: Выбираем значение t_ij^pн (графа 4) данной работы. Затем из этого значения вычитаем величину t_ij^pо каждой из предшествующих данному событию работ и результат заносят в графу 7 той же строки в которой записано время раннего окончания t_ij^pо этих предшествующих работ.

Второй этап

Расчет t_ij^pн и t_ij^по ведется начиная с завершающего события. Для завершающего события t_ij^по принимаем равным t_ij^pн и его значения записывают р графу 11 для всех работ , входящих в конечное событие.

Для определения t_ij^по в одной из строк расположенных ниже данной строки (i j) в графу 2 находим шифр конечного события данной работы и значение t_ij^пн для этой работы. Из графы 9 этой строки переписываем в графу 11 в строку для исковой работы.

t_ij^пн определяем путем вычитания последовательно в каждой строке из значения показателей, записанных в графе 11 , значения показателей графа 10, а результат записываем в графу 9.

Если из события i выходит несколько работ , то для всех значений поздних сроков начала выходящих работ (графа 5) выбираем наименьшие и переносим в графу 11 в качестве t_ij^по данной работы.

Bn(i j) вычисляем одновременно с определением поздних сроков начала и окончания работ. Он, как и Bn(i j) образуются также на пересечении разнонаправленных путей. Событие в котором происходит пересечение путей, можно определять в графе 2. если событие повторяется один раз т.е. у него выходит одна работа, то частный резерв первого вида последующий за событием работы равен нулю. В строке где событие по графе 2 встречается один раз в графе 8 Bn(i j) проставляется 0.

Если событие в графе 2 повторяется несколько раз, из величины t_ij^пн данной работы записанной в графе 9, нужно вычесть величину позднего окончания (графа 11) непосредственно предшествующей работы (т.е. работ, у которой шифр в графе 3. совпадает с шифром в графе 2 данной). Результат записываем в графу 8 в той же строке , где находится выбранная величина t_ij^пн

Третий этап

t_ij^по– t_ij^pо =Bn(i j)

Методы оптимизации сетевой модели

После расчета параметров сетевого З график оптимизируется. На этом этапе оптимизируются параметры первоначального свободного сетевого графика и результаты проверочного его рассчитывают с целью установления соответствия расчетных параметров сети заданным директивным показателям. Если первоначальный сетевой график не обеспечивает соблюдение директивных сроков, параметры сетевой модели изменяются:

Уменьшение планируемого срока выполнения комплекса работ возможно тремя путями:

1. пересматривается положение сети и изменяется состав работ, а также взаимосвязь между ними с целью сокращению длительности критического пути.

2. сокращается продолжительность работ критической зоны за счет перераспределения или привлечения дополнительных ресурсов, а также за счет увеличения технологии и организации проведения этих работ.

3. маневрирование сроками выполнения работ некритических зон в пределах имеющихся резервов времени с целью лучшего использования ресурсов.

После применения организационно технологических мер, направленных на сокращение критического и околокритических путей, заново делают оценки продолжительности работ и определенная новая продолжительность критического пути.

Оптимизация сетевого графика многократно повторяется до тех пор, пока длинна критического пути не позволит закончить объект в необходимый срок.

После нахождения оптимального варианта сетевого графика ВУ рассчитывают календарные планы графика проведения работ.