7. Адаптивные модели прогнозирования

Пример 11. В табл. 48 (см. также рис. 35) приведены данные о ежемесячном спросе на бензин () в компании Yukong Oil из Южной Кореи за период с января 1992г. по июнь 1996г.² Требуется построить предиктор Хольта для расчета прогнозных оценок спроса на бензин в ближайшие три месяца.

Т а б л и ц а 48

Ежемесячный спрос на бензин (тыс. баррелей/день) в компании Yukong Oil

Год	Месяц		Год	Месяц		Год	Месяц
1992	Январь	82,3	1993	Июль	113,5	1995	Январь	145,8
	Февраль	83,6		Август	120,4		Февраль	144,4
	Март	85,5		Сентябрь	124,6		Март	154,2
	Апрель	91,0		Октябрь	116,7		Апрель	148,6
	Май	92,1		Ноябрь	120,6		Май	153,7
	Июнь	95,8		Декабрь	124,9		Июнь	157,9
	Июль	98,3	1994	Январь	122,2		Июль	169,7
	Август	102,2		Февраль	121,4		Август	184,2
	Сентябрь	101,5		Март	125,6		Сентябрь	163,2
	Октябрь	98,5		Апрель	129,7		Октябрь	155,4
	Ноябрь	101,1		Май	133,6		Ноябрь	168,9
	Декабрь	102,5		Июнь	137,5		Декабрь	178,3
1993	Январь	102,7		Июль	143,0	1996	Январь	170,0
	Февраль	102,2		Август	149,0		Февраль	176,3
	Март	104,7		Сентябрь	149,9		Март	174,2
	Апрель	108,9		Октябрь	139,5		Апрель	176,1
	Май	112,2		Ноябрь	147,7		Май	185,3
	Июнь	109,7		Декабрь	154,7		Июнь	182,7

Рис. 35. Динамика спроса на бензин

Решение с помощью MS Excel

1. Деление множества наблюдений на три части: с 1 по 48 наблюдение будут использованы для оценки параметров адаптивного полинома первой степени; с 49 по 51 – для настройки параметра ; с 52 по 54 – для проверки предикторной точности модели.

2. Определение начальных значений коэффициентов модели

,

и задание начальных значений параметров экспоненциального сглаживания

, .

3. Расчет текущих значений коэффициентов предиктора Хольта

Оформление результатов этих расчетов в виде табл. 49.

Т а б л и ц а 49

Текущие значения коэффициентов предиктора Хольта

1	82,30	1,30	17	109,94	1,63	33	141,47	2,04
2	83,60	1,30	18	111,39	1,62	34	143,11	2,00
3	84,96	1,31	19	113,05	1,62	35	145,37	2,03
4	86,74	1,35	20	115,24	1,68	36	148,13	2,10
5	88,49	1,39	21	117,69	1,75	37	149,79	2,06
6	90,48	1,45	22	119,17	1,73	38	151,10	1,98
7	92,57	1,52	23	120,87	1,72	39	153,19	1,99
8	94,90	1,60	24	122,82	1,75	40	154,53	1,93
9	96,99	1,65	25	124,33	1,72	41	156,18	1,90
10	98,63	1,65	26	125,59	1,68	42	158,06	1,90
11	100,36	1,65	27	127,10	1,66	43	160,93	1,99
12	102,06	1,66	28	128,85	1,67	44	165,05	2,21
13	103,62	1,65	29	130,83	1,70	45	166,85	2,17
14	104,96	1,62	30	133,03	1,75	46	167,66	2,03
15	106,39	1,60	31	135,60	1,83	47	169,61	2,02
16	108,08	1,61	32	138,59	1,95	48	172,30	2,09

4. Определение оптимальных значений параметров сглаживания, для чего используется группа наблюдений, которые были выделены для этих целей. С помощью построенного адаптивного полинома получим прогнозные оценки для

Вычислим относительные прогнозные ошибки

Путем изменения параметров сглаживания определим те его значения и , при которых максимальная относительная ошибка станет минимальной. Оптимальными значениями в нашем случае оказались и , при которых относительные ошибки соответственно равны –1,29%; 1,27%; –1,00%.

5. Пересчет табл. 49 с использованием оптимальных значений параметров сглаживания (см. табл. 50).

Т а б л и ц а 50

Текущие значения коэффициентов предиктора Хольта

при оптимальных значениях параметров сглаживания

1	82,30	1,30	18	110,25	1,47	35	143,65	1,73
2	83,60	1,30	19	111,90	1,47	36	146,32	1,77
3	84,96	1,30	20	114,07	1,50	37	147,86	1,76
4	86,74	1,32	21	116,48	1,54	38	149,10	1,74
5	88,46	1,34	22	117,88	1,53	39	151,18	1,76
6	90,40	1,36	23	119,53	1,54	40	152,50	1,74
7	92,41	1,39	24	121,45	1,55	41	154,19	1,74
8	94,64	1,42	25	122,93	1,55	42	156,12	1,74
9	96,61	1,44	26	124,17	1,54	43	159,05	1,79
10	98,10	1,44	27	125,69	1,54	44	163,17	1,88
11	99,70	1,45	28	127,48	1,55	45	164,87	1,88
12	101,28	1,46	29	129,48	1,56	46	165,62	1,83
13	102,73	1,46	30	131,69	1,59	47	167,59	1,84
14	103,99	1,45	31	134,25	1,63	48	170,32	1,87
15	105,37	1,45	32	137,19	1,68	49	171,97	1,86
16	107,02	1,45	33	139,98	1,73	50	174,08	1,87
17	108,85	1,47	34	141,48	1,72	51	175,78	1,87

6. Проверка прогностических свойств модели на данных контрольной выборки

Таким образом, построенная модель позволяет получать прогнозные оценки достаточно высокой точности.

7. Получение модели для проведения прогнозных расчетов на три периода

, ,

для чего необходимо досчитать табл. 60, используя контрольные наблюдения.

8. Получение прогнозных оценок

и построение графиков фактических и расчетных значений (см. рис. 36).

Рис. 36. Прогнозирование спроса на бензин с помощью модели Ч. Хольта

Решение с помощью STATISTICA

1. Ввод исходных данных.

2. Вызов модуля «Прогноз/Серия времени» (Статистика / Дополнительные Линейные/Нелинейные модели / Прогноз/Серия времени).

3. Выбор переменной для анализа (Variables / Var1, см. рис. 37).

Рис. 37. Выбор переменных для анализа

4. Переход на вкладку Seasonal and Non-Seasonal Exponential Smoothing (Сезонное и несезонное экспоненциальное сглаживание, см. рис. 38). С целью получения результатов, идентичных результатам, полученным в MS Excel, необходимо выбрать: Linear Trend: Holt (Линейный тренд: Хольт); Alpha (Альфа) – 0,01; Gamma (Гамма) – 0,04; User-def. initial value (Начальное значение, выбираемое пользователем) – 82,3; Initial trend (Начальный тренд) – 1,3; Forecast (Прогнозировать) – 3 cases (наблюдения). Далее следует нажать на кнопку «Summary: Exponential smoothing» («Результаты анализа: Экспоненциальное сглаживание»), появится окно с таблицей, аналогичной табл. 51.

Рис. 38. Вкладка Seasonal and Non-Seasonal Exponential Smoothing

(Сезонное и несезонное экспоненциальное сглаживание)

Т а б л и ц а 51

Результаты анализа: Экспоненциальное сглаживание

№	Фактические значения	Сглаженные значения	Остатки	№	Фактические значения	Сглаженные значения	Остатки
1	2	3	4	5	6	7	8
1.	82,3000	83,6000	-1,3000	30.	137,5000	130,8102	6,6898
2.	83,6000	84,7648	-1,1648	31.	143,0000	133,0425	9,9575
3.	85,5000	85,9385	-0,4385	32.	149,0000	135,6414	13,3586
4.	91,0000	87,1830	3,8170	33.	149,9000	138,6339	11,2661
5.	92,1000	88,8684	3,2316	34.	139,5000	141,4622	-1,9622
6.	95,8000	90,5081	5,2919	35.	147,7000	142,9598	4,7402
7.	98,3000	92,3750	5,9250	36.	154,7000	145,1466	9,5534
8.	102,2000	94,3290	7,8710	37.	145,8000	147,8529	-2,0529
9.	101,5000	96,5090	4,9910	38.	144,4000	149,3904	-4,9904
10.	98,5000	98,4210	0,0790	39.	154,2000	150,6142	3,5858
11.	101,1000	99,8421	1,2579	40.	148,6000	152,7100	-4,1100
12.	102,5000	101,3862	1,1138	41.	153,7000	154,0197	-0,3197

Окончание табл. 51

1	2	3	4	5	6	7	8
13.	102,7000	102,9202	-0,2202	42.	157,9000	155,7072	2,1928
14.	102,2000	104,3200	-2,1200	43.	169,7000	157,6547	12,0453
15.	104,7000	105,5214	-0,8214	44.	184,2000	160,6356	23,5644
16.	108,9000	106,8493	2,0507	45.	163,2000	164,8627	-1,6627
17.	112,2000	108,4726	3,7274	46.	155,4000	166,5604	-11,160
18.	109,7000	110,2785	-0,5785	47.	168,9000	167,2638	1,6362
19.	113,5000	111,6515	1,8485	48.	178,3000	169,2533	9,0467
20.	120,4000	113,2746	7,1254	49.	170,0000	172,0201	-2,0201
21.	124,6000	115,4539	9,1461	50.	176,3000	173,6721	2,6279
22.	116,7000	117,8718	-1,1718	51.	174,2000	175,7994	-1,5994
23.	120,6000	119,2533	1,3467	52.	176,1000	177,4976	-1,3976
24.	124,9000	120,8920	4,0080	53.	185,3000	179,2104	6,0896
25.	122,2000	122,8129	-0,6129	54.	182,7000	181,6962	1,0038
26.	121,4000	124,2692	-2,8692	Прогнозные значения
27.	125,6000	125,4884	0,1116	55.		183,6775
28.	129,7000	127,0061	2,6939	56.		185,5585
29.	133,6000	128,7929	4,8071	57.		187,4394

Как видно из табл. 51, прогнозные значения, полученные в STATISTICA, мало отличаются от значений, рассчитанных в Excel. Однако в STATISTICA предусмотрено больше возможностей по автоматическому оцениванию начальных значений и поиску оптимальных параметров. Чтобы ими воспользоваться необходимо:

1. перейти на вкладку Grid search (Поиск на сетке, см. рис. 39). Здесь надо задать узлы сетки, на которой происходит поиск параметров (Start parameter at – начать с параметра, Increment by – с шагом, Stop at – остановится на). Система переберет все значения параметров на заданной сетке и определит наилучшие значения, с которыми следует провести сглаживание;

2. щелкнуть по кнопке Perform grid search (Выполнить поиск на сетке). В результате появится таблица, представленная на рис. 40. В верхней строке таблица показаны лучшие значения параметров (Альфа = 0,1 и Гамма = 0,1) а также оцененные системой начальные значения S0 = 81,35 и T0 = 1,894. Кроме того, в таблице приведены значения шести критериев, по которым проводился поиск оптимальных параметров: Mean Error (Средняя ошибка), Mean Abs Error (Средняя абсолютная ошибка), Sum of Squares (Сумма квадратов), Mean Squares (Среднее квадратов), Mean % Error (Средний процент ошибки), Mean Abs % Error (Средний процент абсолютной ошибки). Заметим, что критерий («минимальное значение максимальной ошибки, в %»), который был использован при проведении расчетов в Excel, в системе STATISTICA не предусмотрен.

Рис. 39. Вкладка Grid search (Поиск на сетке)

Рис. 40. Таблица результатов поиска лучших параметров на сетке

3) вернуться на вкладку Seasonal and Non-Seasonal Exponential Smoothing (Сезонное и несезонное экспоненциальное сглаживание) и щелкнуть по кнопке «Summary: Exponential smoothing» («Результаты анализа: Экспоненциальное сглаживание»). В результате появится окно с таблицей, аналогичной табл. 52.

Т а б л и ц а 52

Результаты анализа: Экспоненциальное сглаживание

№	Фактические значения	Сглаженные значения	Остатки	№	Фактические значения	Сглаженные значения	Остатки
1.	82,3000	83,2472	-0,9472	30.	137,5000	133,1375	4,3625
2.	83,6000	85,0373	-1,4373	31.	143,0000	135,2433	7,7567
3.	85,5000	86,7641	-1,2641	32.	149,0000	137,7661	11,2339
4.	91,0000	88,4955	2,5045	33.	149,9000	140,7490	9,1510
5.	92,1000	90,6289	1,4711	34.	139,5000	143,6151	-4,1151
6.	95,8000	92,6736	3,1264	35.	147,7000	145,1134	2,5866
7.	98,3000	94,9151	3,3849	36.	154,7000	147,3078	7,3922
8.	102,2000	97,2163	4,9837	37.	145,8000	150,0567	-4,2567
9.	101,5000	99,7273	1,7727	38.	144,4000	151,5981	-7,1981
10.	98,5000	101,9348	-3,4348	39.	154,2000	152,7734	1,4266
11.	101,1000	103,5873	-2,4873	40.	148,6000	154,8254	-6,2254
12.	102,5000	105,3096	-2,8096	41.	153,7000	156,0500	-2,3500
13.	102,7000	106,9716	-4,2716	42.	157,9000	157,6386	0,2614
14.	102,2000	108,4447	-6,2447	43.	169,7000	159,4909	10,2091
15.	104,7000	109,6580	-4,9580	44.	184,2000	162,4401	21,7599
16.	108,9000	110,9505	-2,0505	45.	163,2000	166,7620	-3,5620
17.	112,2000	112,5131	-0,3131	46.	155,4000	168,5161	-13,1161
18.	109,7000	114,2464	-4,5464	47.	168,9000	169,1836	-0,2836
19.	113,5000	115,5109	-2,0109	48.	178,3000	171,1316	7,1684
20.	120,4000	117,0088	3,3912	49.	170,0000	173,8964	-3,8964
21.	124,6000	119,0809	5,5191	50.	176,3000	175,5158	0,7842
22.	116,7000	121,4209	-4,7209	51.	174,2000	177,6110	-3,4110
23.	120,6000	122,6897	-2,0897	52.	176,1000	179,2527	-3,1527
24.	124,9000	124,2008	0,6992	53.	185,3000	180,8886	4,4114
25.	122,2000	125,9977	-3,7977	54.	182,7000	183,3251	-0,6251
26.	121,4000	127,3070	-5,9070	Прогнозные значения
27.	125,6000	128,3462	-2,7462	55.		185,2517
28.	129,7000	129,6741	0,0259	56.		187,2407
29.	133,6000	131,2794	2,3206	57.		189,2298

Заметим, что прогнозные значения в табл. 52 отличается от ранее полученных значений. Это объясняется тем, что расчеты проводились, во-первых, при разных начальных значениях, а во-вторых, при разных параметрах.

Пример 12. Требуется сравнить прогностические возможности предиктора Хольта с адаптивным полиномом Брауна. Для этого необходимо построим адаптивный полином по данным табл. 48.

Решение с помощью MS Excel

1. Определение с помощью обычного МНК коэффициенты и полинома

,

которые используются для расчета начальных значений экспоненциальных средних)

,

.

Заметим, что в качестве первоначального значения параметра сглаживания было выбрано .

2. Расчет экспоненциальных средних первого и второго порядка

а также коэффициентов адаптивного полинома

Оформление результатов расчетов в виде табл. 53.

Т а б л и ц а 53

Экспоненциальные средние первого и второго порядка

и коэффициенты адаптивного полинома

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	77,87	73,47	82,28	1,89	25	120,53	117,08	123,99	1,48
2	79,59	75,31	83,88	1,84	26	120,79	118,19	123,39	1,11
3	81,36	77,12	85,61	1,82	27	122,23	119,40	125,07	1,21
4	84,25	79,26	89,25	2,14	28	124,47	120,93	128,02	1,52
5	86,61	81,47	91,75	2,20	29	127,21	122,81	131,61	1,89
6	89,37	83,84	94,90	2,37	30	130,30	125,06	135,54	2,25
7	92,05	86,30	97,79	2,46	31	134,11	127,77	140,44	2,72

Окончание табл. 53

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
8	95,09	88,94	101,25	2,64	32	138,58	131,01	146,14	3,24
9	97,01	91,36	102,67	2,42	33	141,97	134,30	149,64	3,29
10	97,46	93,19	101,73	1,83	34	141,23	136,38	146,08	2,08
11	98,55	94,80	102,31	1,61	35	143,17	138,42	147,93	2,04
12	99,74	96,28	103,19	1,48	36	146,63	140,88	152,38	2,46
13	100,63	97,58	103,67	1,30	37	146,38	142,53	150,23	1,65
14	101,10	98,64	103,56	1,05	38	145,79	143,51	148,07	0,98
15	102,18	99,70	104,66	1,06	39	148,31	144,95	151,67	1,44
16	104,19	101,05	107,34	1,35	40	148,40	145,98	150,81	1,03
17	106,60	102,71	110,48	1,66	41	149,99	147,18	152,79	1,20
18	107,53	104,16	110,90	1,44	42	152,36	148,74	155,99	1,55
19	109,32	105,71	112,93	1,55	43	157,56	151,39	163,74	2,65
20	112,64	107,79	117,50	2,08	44	165,55	155,64	175,47	4,25
21	116,23	110,32	122,14	2,53	45	164,85	158,40	171,30	2,76
22	116,37	112,14	120,61	1,82	46	162,01	159,48	164,54	1,08
23	117,64	113,79	121,49	1,65	47	164,08	160,86	167,30	1,38
24	119,82	115,60	124,04	1,81	48	168,35	163,11	173,58	2,24

3. Определение оптимального значения параметра сглаживания, для чего необходимо использовать группу наблюдений, которые были выделены для этих целей. Получение с помощью построенного адаптивного полинома прогнозных оценок для

и вычисление относительных прогнозных ошибок

Путем изменения параметра сглаживания определим то его значение , при котором максимальная относительная ошибка станет минимальной. Оптимальным значением оказалось , при котором относительные ошибки соответственно равны –1,59%; 0,97%; –1,31%.

4. Пересчет табл. 53 для с целью контрольного прогнозного расчета (см. табл. 54). Прогнозные расчеты на контрольной выборке позволяют сделать вывод, что прогностические возможности предиктора Хольта и адаптивного полинома Брауна практически не отличаются.

Т а б л и ц а 54

Экспоненциальные средние первого и второго порядка

и коэффициенты адаптивного полинома при оптимальном значении

1	-104,27	-290,79	82,26	1,88	27	-55,48	-241,79	130,84	1,88
2	-102,39	-288,91	84,13	1,88	28	-53,62	-239,91	132,66	1,88
3	-100,51	-287,02	86,01	1,88	29	-51,75	-238,03	134,52	1,88
4	-98,59	-285,14	87,95	1,88	30	-49,86	-236,15	136,43	1,88
5	-96,69	-283,25	89,88	1,88	31	-47,93	-234,26	138,40	1,88
6	-94,76	-281,37	91,85	1,88	32	-45,96	-232,38	140,46	1,88
7	-92,83	-279,48	93,82	1,89	33	-44,00	-230,50	142,49	1,88
8	-90,88	-277,60	95,84	1,89	34	-42,17	-228,61	144,28	1,88
9	-88,96	-275,71	97,80	1,89	35	-40,27	-226,73	146,19	1,88
10	-87,08	-273,83	99,66	1,89	36	-38,32	-224,85	148,21	1,88
11	-85,20	-271,94	101,54	1,89	37	-36,48	-222,96	150,01	1,88
12	-83,32	-270,05	103,41	1,89	38	-34,67	-221,08	151,74	1,88
13	-81,46	-268,17	105,24	1,89	39	-32,78	-219,20	153,63	1,88
14	-79,63	-266,28	107,03	1,89	40	-30,97	-217,31	155,38	1,88
15	-77,78	-264,40	108,83	1,88	41	-29,12	-215,43	157,19	1,88
16	-75,92	-262,51	110,68	1,88	42	-27,25	-213,55	159,05	1,88
17	-74,04	-260,63	112,56	1,88	43	-25,28	-211,67	161,11	1,88
18	-72,20	-258,74	114,35	1,88	44	-23,19	-209,78	163,41	1,88
19	-70,34	-256,86	116,18	1,88	45	-21,32	-207,90	165,25	1,88
20	-68,43	-254,98	118,11	1,88	46	-19,56	-206,01	166,90	1,88
21	-66,50	-253,09	120,08	1,88	47	-17,67	-204,13	168,79	1,88
22	-64,67	-251,21	121,86	1,88	48	-15,71	-202,25	170,83	1,88
23	-62,82	-249,32	123,68	1,88	49	-13,85	-200,36	172,66	1,88
24	-60,94	-247,44	125,55	1,88	50	-11,95	-198,48	174,57	1,88
25	-59,11	-245,56	127,33	1,88	51	-10,09	-196,60	176,41	1,88
26	-57,31	-243,67	129,06	1,88

5. Построение графиков фактических и расчетных значений ежемесячного спроса на бензин (см. рис. 41). Заметим, что график модели Р. Брауна, настроенной на получение прогнозных оценок для , имеет вид прямой.

Рис. 41. Прогнозирование спроса на бензин с помощью модели Р. Брауна

Пример 13. Предположим, что президента холдинга «ВТД», интересует динамика числа акционеров. В частности, ему необходимо по данным предыдущих лет (см. табл. 55) построить модель для прогнозирования количества владельцев акций в зависимости от стоимости акции и размера дивидендов.

Т а б л и ц а 55

Динамика числа владельцев акций холдинг «ВТД» и влияющих на нее факторов

Год	Количество владельцев акций, чел.	Стоимость акции, тыс. руб.	Дивиденды на одну акцию, тыс. руб.
1995	26470	1,6	1,21
1996	28770	1,73	1,28
1997	29481	1,85	1,32
1998	31682	1,76	1,36
1999	30121	1,91	1,39
2000	31052	2,02	1,45
2001	30845	2,06	1,43
2002	32012	2,23	1,51
2003	32134	2,56	1,58
2004	32813	2,64	1,62
2005	33180	2,69	1,65

Решение с помощью MS Excel

1. Определение начальные значения для построения адаптивной регрессионной модели и по первым восьми наблюдениям. Для этого:

1) вычислим матрицу и найдем к ней обратную

,

.

2) сформируем вектор и получим начальные значения вектора оценок коэффициентов адаптивной регрессионной модели

, .

Таким образом, регрессионная модель с начальными значениями коэффициентов записывается в следующем виде:

.

2. Осуществление адаптивной корректировки коэффициентов регрессионной модели в предположении, что значение параметра сглаживания . Для этого:

1) получим прогнозную оценку

;

2) рассчитаем

;

3) вычислим

;

4) сформируем корректирующий вектор

;

5) рассчитаем прогнозную ошибку для вновь поступившего наблюдения

и умножим на эту ошибку корректирующий вектор

;

6) получим скорректированный по вновь поступившему наблюдению вектор коэффициентов адаптивной регрессионной модели

.

Таким образом, регрессионная модель с обновленными коэффициентами имеет вид

.

3. Настройка параметра , для чего:

1. рассчитаем прогнозную оценку

и соответствующую ошибку предсказания

.

2. подберем параметр сглаживания таким образом, чтобы минимизировать ошибку. Минимальная по абсолютной величине ошибка была получены при . Оценки коэффициентов модели при таком значении параметра сглаживания равны

.

4. Пересчет обратной матрицы

5. Корректировка коэффициентов модели по 10-му наблюдению с использованием полученной обратной матрицы

6. Пересчет обратной матрицы с учетом значения факторов 10-го наблюдения

.

7. Корректировка вектора оценок коэффициентов модели таким же образом, как и на предыдущих шагах, с использованием обратной матрицу и последнее (11-е) наблюдение.

В окончательном виде модель для прогнозирования количества владельцев акций холдинга записывается следующим образом:

.

Пример 14. Предположим, что требуется разработать новый тариф на электроэнергию. Для этого необходимо построить модель для прогнозирования расходов населения на оплату электроэнергии в зависимости от размера потребления электроэнергии, цены 1 кВт/ч и количества потребителей. Данные для расчетов представлены в табл. 56.

Т а б л и ц а 56

Динамика расходов населения на электроэнергию и факторов на нее влияющих

Год	Расходы на электро- энергию (млн. долл.)	Потребление электроэнергии (кВт/ч)	Цена электроэнергии (в центах за кВт/ч)	Количество потребителей
1974	25,8	12857	1,21	166588
1975	30,5	13843	1,29	170317
1976	33,3	14223	1,33	175536
1977	37,2	14427	1,42	181553
1978	42,5	14878	1,52	188325
1979	48,8	15763	1,59	194237
1980	55,4	15130	1,84	198847
1981	64,3	14697	2,17	201465
1982	78,9	15221	2,55	203444
1983	86,5	14166	2,97	205533
1984	114,6	14854	3,7	208574
1985	129,7	14997	4,1	210811
1986	126,1	13674	4,34	212865
1987	132,0	13062	4,71	214479
1988	138,1	13284	4,82	215610
1989	141,2	13531	4,81	217164
1990	143,7	13589	4,81	219968
1991	149,2	13800	4,84	223364
1992	146,1	13287	4,83	227575
1993	153,9	13406	4,91	233795
1994	146,9	12661	4,84	239733
1995	156,8	12434	4,98	253364
1996	158,2	12753	4,97	255771
1997	163,4	13678	5,1	258890

Решение с помощью MS Excel

1. Деление множества наблюдений на три части: с 1 по 18 наблюдение будем использовать для определения начальных значений; с 17 по 22 – для настройки параметра адаптации модели; 23 и 24 – для проведения контрольных прогнозных расчетов. Группу наблюдений для одновременной обработки будем формировать путем комбинирования наблюдений, которые уже участвовали в построении модели, и тех, которые еще не использовались, т.е. на первом шаге адаптации будут обрабатываться с 17 по 20 наблюдение, а на втором – с 19 по 22.

2. Определения начальных значений по первым 18 наблюдениям

,.

3. Проведение промежуточных расчетов по корректировке коэффициентов модели при

;

.

;

;

;

; .

Получим окончательные значения корректирующего вектора:

.

После первого шага адаптации вектор оценок коэффициентов модели выглядит следующим образом:

.

4. Расчет постпрогнозных оценок

, ,

и их относительных ошибок

, .

5. Настройка параметра адаптации , руководствуясь критерием «минимум максимальной относительной ошибки», и пересчет коэффициентов модели с этим оптимальным значением

.

6. Пересчет обратной матрицы , используя 17 – 20 наблюдения

7. Выполнение расчетов, аналогичных тем, которые были проведены выше, но для наблюдений 19–22 и пересчитанной обратной матрице и получение скорректированного вектора оценок коэффициентов модели,

а также новой обратной матрице

.

8. Проведение контрольных прогнозных расчетов, используя значения факторов в 23-м и 24-м наблюдениях

; .

Результаты расчетов свидетельствую о достаточно хороших прогностических свойствах модели.

9. Корректировка вектора оценок коэффициентов модели уже известным нам образом, используя обратную матрицу и группу из последних четырех (с 20 по 24) наблюдений, в которую включена контрольная выборка.

В окончательном виде модель для прогнозирования расходов на оплату электроэнергии записывается следующим образом:

.

Задание 12. По данным табл. 57 для автомобиля марки Ford построить две модели: модель Хольта и модель Брауна. Для обеих моделей провести оптимальную настройку параметров адаптации. Сравнить на контрольной выборке из последних трех наблюдений точность предсказания по этим моделям. Осуществить прогнозные расчеты (), используя более точную модель.

Задание 13. По данным табл. 57 для автомобилей Nissan построить прогнозную модель Хольта с адаптивным механизмом Брауна и сравнить ее по точности предсказания на контрольной выборке из пяти последних наблюдений с моделью в виде адаптивного полинома Брауна первого порядка. Предусмотреть оптимальную настройку параметров сглаживания. По лучшей модели осуществить прогноз объема продаж автомобилей этой марки для .

Т а б л и ц а 57