курсовая работа / Методичка по ТАУ(УТС)
.pdfКафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
граммирования, т.е. условие стоящее перед ним выполняется, если не выполняется никакое другое условие из описанных выше.
d.Например
12.Логические операторы (=, <, >, ≤, ≥, ≠, ¬, ^, v).
|
Меньше |
Больше |
Меньше Больше |
или |
или |
Равно |
равно |
равно |
|
|
НеравноНе И ИлиXOR
12.Матричные операторы.
Вызываем панель инструментов вектор и матрица.
1.Создание матрицы или вектора. (Rows – количество строк, Columns – столбцов).
2.Создание индекса.
3. |
Вычисление обратной матрицы |
X := A−1 B |
|||||
4. |
Вычисление определителя. |
|
A |
|
= −1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5.Создание вектора из матрицы.
6.Выделение столбца матрицы.
7.Транспонирование матрицы.
8.Определение области значения переменной.
9.Скалярное произведение.
10.Векторное произведение.
11.Векторная сумма.
–11–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
6 |
|
|
A := |
2 |
4 |
5 |
|
B := |
15 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
6 |
|
|||
|
|
A |
|
= −1 |
|
|
X := A−1 B |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
X = |
|
3 |
|
|
|
A X = |
15 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
24 |
13.Решение систем уравнений с использованием "GIVEN"
и"FIND".
Этот метод решает систему методом перебора или прогонки, в отличие от решения через матрицы при этом методе решение будет всегда. Позволяет решать сложные нелинейные функции и неравенства.
x := 1 y := 1 |
|
|
|
|||||
Given |
|
|
|
|
|
|||
x2 + y2 |
|
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
x + y |
|
|
2 |
|
−0.414 |
|
||
|
|
|||||||
|
||||||||
Find(x,y) = |
||||||||
|
2.414 |
|
||||||
|
|
|
|
|
A := 1 |
|
B := 1 |
|||
Given |
|
|
|||
3 A |
|
6 |
|||
|
|||||
|
|||||
A + B |
|
3 |
|||
|
|||||
|
|||||
|
A |
:= Find(A,B) |
|||
|
B |
||||
|
|
||||
A = 2 |
|
B = 1 |
•Задаем начальные значения.
•Пишем ключевое слово "Given".
•Задаем первое условие.
•Задаем второе условие.
•Производим решение системы
A := 1 B := 1 C := 1 Given
6 C + 8 B + 12 A 0 5 C + 6 B + 7 A 2 C + B + A 3
|
A |
|
|
B |
:= Find(A,B ,C) |
|
||
|
C |
|
A = 4 |
B = −21 C = 20 |
–12–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
14.Решение уравнения ("ROOT" и "POLYROOTS").
Функция root предназначена для нахождения одного корня ближайшего к указанному значению или в указанном диапазоне значений переменной.
x := 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) := |
− |
+ 2x + 4 |
|||
|
1 3 |
2 |
|
|
|
x |
6x |
||||
|
|
2 |
|||||||||
f (x) := |
|
x |
− 6x |
+ 2x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
root(f (x) ,x,1 ,2) = 1.057 |
||||||||||
root(f (x) ,x) = −0.653 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Функция polyroots предназначена для нахождения всех корней указанного полинома.
|
|
|
|
|
g(x) := 3x5 − 4x3 − x + 7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Для решения необходимо задать матрицу столбец |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
коэффициентов при степенях переменной. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Нахождение корней полинома может осуществ- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ляться двумя методами: методом Гаусса и методом |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Дружественной матрицы. Для перехода от одного мето- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
да к другому необходимо щелкнуть правой кнопкой мы- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ши по функции polyroots и выбрать необходимый вам ме- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
тод. |
|
Метод Дружественной матрицы |
|
|||||
|
|
|
|
Метод |
Гаусса |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
−0.674208826811809 |
|
|
3 |
|
|
−0.674208826811809 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
−0.350460433194259 − 0.901219817539807i |
0 |
|
−0.350460433194301 + 0.90121981753983i |
||||||||
|
−4 |
|
|
|
−4 |
|
|
||||||
polyroots |
0 |
|
= |
−0.350460433194253 + 0.901219817539829i |
polyroots |
0 |
|
= |
−0.350460433194301 − 0.90121981753983i |
||||
|
|
|
0.758993418028701 − 0.322135148287133i |
|
|
|
|
0.758993418028777 + 0.322135148287243i |
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
0.758993418028764 + 0.32213514828711i |
|
0.758993418028777 − 0.322135148287243i |
|||||||||||
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Прямое и обратное преобразование Лапласа. ("LAPLACE" и " INVLAPLACE")
Щелкните на преобразуемую переменную t.
1.Выбрать Transform Laplace из меню Symbolics.
2.Mathcad возвратит преобразование Лапласа, используя s как комплексную величину:
–13–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
exp(−a t) => s + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(b t) => |
(s2 + b2) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в MathCAD можно реализовать сле- |
|||||||||||||||||||
|
|
Обратное преобразование Лапласа |
|||||||||||||||||||||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Способ №1. Использование методики применяемой при решении в |
|||||||||||||||||||||||||||
ручную, но с использованием нескольких функций процесс. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 (s2 − 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
Определяем |
|
|
|
|
Y(s) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
функцию |
|
|
|
|
(2 s2 + s − 1) (s + 1)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определяем |
|
|
|
|
a := 2 |
|
|
b := 1 |
|
c := −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
корни в числи- |
|
d := b2 − 4 a c |
|
|
|
|
d = 9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
теле. |
|
|
Решаем |
|
a s2 + b s + c factor → (s + 1) (2 s − 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 s2 + s − 1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вводим дополнительные коэффициенты |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
+ |
|
B |
+ |
|
C |
|
|
|
+ |
|
|
D |
|
|
|
simplify→ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2s − |
1 |
|
|
s + 1 |
|
|
|
(s + 1) |
2 |
|
|
|
|
(s + 1) |
3 |
|
collect,s |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ (3 A + 3 |
|
B + 2 |
C) s |
+ (C + 3 |
A + 2 D) s − |
|
|||||||||||||||||||
|
(A + 2 B) s |
|
|
|
|
|
C − B + A − D |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s − 1) |
(s + 1) |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
|
Решаем систему уравнений
Проводим обратное преобразование Лапласа.
a := 1 b := 1 c := 1 d := 1 Given
a + 2 |
b |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 a + 3 b + 2 c |
|
8 |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
c + 3 |
a + 2 d |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
−c − b + a − d |
|
|
|
−8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Y := Find(a ,b ,c ,d) |
|
|
||||||||||||
a |
+ |
|
|
b |
|
|
+ |
|
|
|
c |
|
|
|
2s − 1 |
|
s + |
1 |
|
|
(s + |
1) |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1.778 |
a := Y0 |
||
|
|
|
0.889 |
|
b := Y1 |
|
|
Y = |
|
||||
|
|
5.333 |
|
c := Y2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
d := Y3 |
|
|
d |
|
||||
+ |
invlaplace,s → |
|
||||
(s + 1)3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
–14–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
16 |
t exp(−t) + |
8 |
exp(−t) − |
8 |
exp |
1 |
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
9 |
9 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Способ №2. Написать после вашей функции invlaplace,s (если s опе-
ратор Лапласа), затем нажимаем на , потом на , тогда можно получить примерно следующее.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Способ №3. Поместить курсор в преобразуемое выражение, найти пункт в ниспадающем меню, для английской веси Symbolics/ Transform/ Inverse Laplace (см. рисунок 1).
s
s2 + b2 => cos(b t)
s
s + a => −a exp(−a t) + Dirac(t)
Способ №4. Найти панель
и щелкнуть на соответствующем значке после этого на экране появится соответствующая
форма (см. рисунок 2). Помещаем курсор в преобразуемое выражение, а затем находим на этой форме соответствующий пункт invlaplace.
–15–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
16.Построение переходной характеристики.
Переходная характеристика h(t) оценивает реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях. С помощью h(t) может быть получена достаточно надежная оценка статического коэффициента передачи и времени перехода.
При известной передаточной функции W(s) переходная характеристика определяется через обратное преобразование Лапласа:
h(t) = L-1{ W(s) /s }
Импульсная характеристика (весовая характеристика) w(t) оценивает реакцию звена на единичный импульс δ(t) при нулевых начальных условиях. Так как δ(t) представляет собой производную от 1(t), импульсная характеристика w(t) выражается через переходную характеристику:
w(t) = dh(t) /dt w(t) = L-1{ W(s) }
После преобразования необходимо построить график. Лучше всего написать w(t):= и присвоить (дописать наше полученное выражение или скопировать и вставить после знака равно). Получится примерно следую-
щее:. Далее необходимо построить ее график.
17. |
Dirac Delta (Единичный импульс) функция |
|
|
|
|
|
Если вы получите функцию ∆(t) или Dirac(t), то |
∆(t) := |
0 |
if t < 0 |
|||
|
1 |
if t |
|
0 |
||
|
||||||
|
||||||
вам необходимо будет определить ее прежде вашей функ- |
|
0 |
if t > 0 |
|||
|
|
|
|
|
||
ции w(t) следующим образом. Это функция Дирака или |
|
|
|
|
|
|
единичный импульс δ(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
её построения нам потребуется форма |
|
|
|
|
|
|
, а именно Add Line и if. |
|
|
|
|
|
Первоначально функция будет примерно такой. |
|
|
|
|
|
|
После нажатия Add Line примет следующий вид, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–16–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
еще раз нажимаем Add Line и получаем три строки.
Далее набираем в первой строке 0, нажимаем на if и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
набираем t<0, щелкаем на вторую строку, добавляем 1 if t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Затем вызываем форму |
, выбираем вставку |
Рисунок 4. |
||||||||
равно (=) (см. рисунок 4), добавляем 0, переходим на сле- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дующую строку и по аналогии добавляем 0 if t>0. |
Dirac(t) := |
|
|
|
0 |
if t < 0 |
||||
|
|
|||||||||
В итоге получаем следующее выражение. |
|
|
|
|
1 |
if t |
|
0 |
||
|
||||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
if t > 0 |
Следующий этап получение графика. Вызываем форму , где выбираем линейный график
(см. рисунок 5).
Набираем t по оси абсцисс и w(t) по оси ординат и нажива-
Рисунок 5.
ем ВВОД ( Enter) или щелкаем мышью вне графика, если все верно, то MathCAD немедленно его отобразит (см. рисунок 6).
Рисунок 6.
|
|
|
|
|
⌠ |
∞ |
|
||
|
|
|
0 если x ≠ 0 |
|
Dirac(x) dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Определена как Dirac(x) |
|
и ⌡−∞ |
|
||||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
Символьное вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Dirac(1) равно 0 |
|
|
⌠∞ |
|
||||
|
|
|
|
Dirac(t) dt |
равно 1 |
||||
|
|
|
|
|
⌡− ∞ |
||||
⌠∞ |
Dirac(t) f(t) dt |
|
⌠∞ |
Dirac(t − a) f(t) dt |
|||||
|
|
|
|||||||
⌡− ∞ |
равно f(0) |
|
⌡− ∞ |
|
|
|
равно f(a) |
Преобразование:
–17–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ).
1 при преобразовании Фурье 2 π Dirac(ω)
1 при обратном преобразовании Лапласа Dirac(t)
Ф(t) при преобразовании Фурье где Ф - функция шага Хевисайда Производные:
Dirac(n,1) равна 0
d Dirac(n,t) |
равна ∆(n + 1 ,t) , т.е. Dirac(n+1, t) |
dt |
|
|
Dirac(n,t) при преобразовании Лапласа sn |
18. Построение амплитудночастотной характеристики (АЧХ и ЛАЧХ)
Частотные характеристики – это наиболее распространенное средство описания динамических свойств систем автоматического регулирования. Аналитически частотные характеристики могут быть получены на основе заданной передаточной функции W(s). После подстановки s=jw, получим частотную передаточную функцию W(jw), которая в общем случае представляет собой комплексное выражение от действительной переменной w и может быть записана в алгебраическом или показательном видах:
W(jw) = U(w) + j*V(w) = A(w)*ej*φ(w),
где U(w) – действительная часть функции; V(w) – мнимая часть функции;
A(w) – функции радиусвектора.
19. Избавляемся от разрыва в ФЧХ
Избавится от разрыва в ФЧХ можно двумя способами:
1. Разбиваем функцию на несколько и рисуем каждую по отдельности.
–18–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определяем функцию ФЧХ и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
строим ее график. |
|
|
1.569 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω := 0 ,0.001 .. 2 |
|
|
|
φ(ω) |
0 |
|
0.5 |
1 |
|
1.5 |
|
|
2 |
||||||
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
ω |
− 2 ω |
− 1.57 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
φ(ω) := atan ω |
|
|
|
|
0 |
|
|
ω |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
2 ω |
4 |
+ ω |
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим значения ω, при которых происходит |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
разрыв функции φ(ω). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого составляем вектор коэффициентов с из |
c := |
1 |
|
|
|||||||||||||||
числителя U(ω). ( 2 ω4 + ω2 − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
Производим поиск решений. |
|
|
|
|
w := polyroots(c) |
||||||||||||||
Выводим решение на экран. |
|
|
|
|
|
|
−1.132 |
|
|||||||||||
Наиболее подходящее решение w=0.884. |
|
|
|
0.884i |
|
|
|||||||||||||
|
w = |
|
|
||||||||||||||||
При ω=0 функция φ(ω) должна быть равна –π (см. |
|
−0.884i |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
график АФЧХ), а не 0 как мы видели из графика. |
|
|
|
1.132 |
|
||||||||||||||
Конструируем |
функцию |
|
учиты- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вающую разрывность арктангенса |
0.339 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и строим ее график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
|
1.5 |
|
2 |
|||
|
5 |
− 2 |
ω |
3 |
− 2 ω |
|
f(ω1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
φ(ω2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ω |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
φ(ω) := atan |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 ω |
|
|
+ ω |
|
− 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ω1 := 0 ,0.001 .. 0.883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− 3.142 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ω2 := 0.884 ,0.885 .. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ω1 ,ω2 |
|
|
|
|
2 |
|||||
f (ω1) := φ(ω1) − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Изготавливаем составную функцию m(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
• Запись в одну строку
–19–
Кафедра "Автопласт"©®. Дисциплина УТС (ТАУ). |
|
|||||||||
x := 0..360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V(x) := sin(x deg) |
U(x) := cos (x deg) |
|
|
|
|
|||||
atan |
V(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x) := |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
deg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(x) := if(V(x) ≥ 0 U(x) ≥ 0,f(x) ,if(U(x) < 0,f(x) + 180,if(V(x) < 0 U(x) ≥ 0,f(x) + 360,0))) |
||||||||||
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
−90 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
360 |
• Запись в несколько строк |
|
|
|
|
–20–