10. Выполнение арифметических действий над целыми числами компьютером Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет упростить конструкцию АЛУ.

При сложении двоичных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. Числа А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

Например: A= 53₈ , B = 12₈

53₈ +12₈ =00101011₂ + 00001010₂ = 00110101₂ = 65₈

00101011₂

+ 00001010₂



= 00110101₂

Здесь получен правильный результат.

2. А положительное, число B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например: 12₈ +( – 53₈ ) = – 41₈ = 00001010₂ + 01010100₂ =01011110₂

00001010₂

+ 01010100₂



= 01011110₂

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе числа в прямой код биты цифровой части результата инвертируются, т.е. 10100001₂= – 41₈ :

01011110₂  10100001₂

3. А положительное, число B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Например: 53₈ +( -12₈ ) = 41₈ = 00101011₂ + 01110101₂ = 10100000₂

00101011₂

+ 01110101₂



= 10100000₂

Компьютер исправляет полученный неправильный результат в прямом коде ( –40₈ вместо 41₈) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы:

10100000₂  00100001₂

4. Числа А и В оба отрицательные.

Например: (–5₈) + (–5₈) = –12₈ = 01111010₂ + 01111010₂ = 11110100₂

01111010₂

+ 01111010₂



= 11110100₂

Полученный первоначально неправильный результат (получен обратный код числа –13₈ вместо обратного кода числа –12₈) компьютер исправляет ошибку переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы:

11110100₂  (перенос 1)  01110101₂ (обратный код числа)

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 01110101₂  10001010₂ (прямой код) = –12₈ = –10₁₀

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него ячейке памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. Числа А и В положительные, но сумма А+В больше, либо равна 2^n–1, где n – количество разрядов формата чисел ( для однобайтового формата n=8, 2^n–1 =2⁷=128). Например: 120₈ + 122₈ = 01010000₂ + 01010010₂ =10100010₂= 242₈= -42₈

01010000₂

+ 01010010₂



= 10100010₂

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (242₈ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. Числа А и В отрицательные, а сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n–1 , где n – количество разрядов формата чисел. В этом случае также знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что будет свидетельствовать о переполнении разрядной сетки.