7. Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную.

Правило: При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеp: 113₈ = 1*8² + 1*8¹ + 3*8⁰ = 64+ 8 + 3 = 75₁₀.

8. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе— это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила также применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение

Для сложения используется следующее Правило Счета - при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то переносится влево единица.

Пример 1. Сложим целые числа 15₁₀ и 6₁₀ в различных системах счисления.

17₈ (15₁₀) F₁₆ (15₁₀) 1111₂ (15₁₀)

+ 6₈ + 6₁₆ + 110₂ (6₁₀)

----- ------------ -----------

25₈ (13₁₀-8₁₀=5₈) 15₁₆ (21₁₀-16₁₀=5₁₆) 10101₂

Ответ: 15₁₀ + 6₁₀ = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = F₁₆+6₁₆ = 15₁₆.

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду и получим в результате число 21₁₀: 10101₂ = 1*2⁴ + 1*2² + 1*2⁰ = 16+4+1 = 21₁₀, 25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21₁₀, 15₁₆ = 1*16¹ + 5*16⁰ = 16+5 = 21₁₀.

Пример 2. Сложим в различных системах счисления вещественные числа 141,5₁₀ и 59,75₁₀.

Ответ: 141,5₁₀ + 59,75₁₀ = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

8 0,25₁₀ *8= 0, (2),0 = 0,2₈

201 | 1

25 | 1

3 | 3

0 | 311₈ +0,2₈ = 311,2₈

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 128+64+8+1+ 0,25= 201,25₁₀

311,2₈ = 3*8² + 1•8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 192+8+1+0,25= 201,25₁₀

C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 192+9+0,25= 201,25₁₀

Вычитание Операция вычитания является обратной операцией по отношению к сложению.

Пример 3.

Вычтем единицу из чисел в разных системах счисления: 10₂, 10₈ и 10₁₆ :

10₂ – 1₂ = 1₂ ; 10₈ - 1= 7₈ ; 10₁₆ - 1 = F₁₆ .

Пример 4. Вычтем число 59,75₁₀ из числа 201,25₁₀.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

8 0,5₁₀* 8 = 0, (4)0 = 0,4₈

141 | 5

17 | 1

2 | 2

0 | 215₈ + 0,4₈ = 215,4₈

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду: 10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 128+8+4+1+0,5= 141,5₁₀; 215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 128+8+5+0,5= 141,5₁₀; 8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 128+13+0,5= 141,5₁₀.

Умножение

Правило. Для умножения многозначных чисел в различных позиционных системах счисления можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик ( как в десятичной системе счисления), но при этом перемножение и сложение чисел необходимо выполнять по правилам арифметики уже новой системы счисления.

Умножение столбиком в двоичной системе сводится к сдвигам множимого влево и сложениям по разрядам.

Пример 7. Перемножим числа 5₁₀ и 6₁₀.

Ответ: 5₁₀*6₁₀ = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

2 или 101₂ (5₁₀)

30₁₀ | 0 *110₂ (6₁₀)

15 | 1 ------------

7 | 1 000₂

3 | 1 + 101

1. | 1 101

0 --------------

11110₂

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30₁₀

36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 24 + 6 = 30₁₀.