Метод синтеза оптимальных систем управления с использованием обратной связи

В данном разделе мы рассмотрим метод синтеза оптимальных систем управления с использованием обратной связи по состоянию и интегральных квадратичных оценок качества.

Управляющие Переменные

сигналы состоянияu₁x₁

u₂ Системаx₂

управления

u_nx_n

Рис. 11.4 Система управления, описываемая переменными х и u Рассмотрим систему управления, изображенную на рис. 11.4, которая описывается векторно-матичным дифференциальным уравнением . (11.5) Выберем регулятор в цепи обратной связи так, чтобы и было некоторой функцией измеряемых переменных состояния, т. е.. Например, можно сформировать компоненты вектора управления как,, ……,(11.6) Или:,, ….. (11.7) Выбор управляющих сигналов является достаточно произвольным и зависит от конкретного качества, которое необходимо обеспечить, и от того, сколь сложной допускается иметь структуру обратной связи. Количество переменных состояния, используемых для формирования управляющих сигналов, часто является ограниченным, т. к. не все они могут быть доступны непосредственному измерению. В нашем случае мы будем считать, что управление и является линейной комбинацией переменных состояния, т. е., где — матрица размерности mxn. В развернутой форме это выглядит так: (11.8) Подставляя (11.8) в (11.5), получим: , (11.9) где Н—матрица размерностиnxn, получаемая путем сложения элементов матриц А и ВК.

Возвращаясь к интегральным квадратичным оценкам качества, в случае одной переменной состояния мы можем записать . (11.10) В случае двух переменных состояния интегральная квадратичная оценка будет иметь вид:(11.11) Поскольку мы собираемся представить оценку качества в виде интеграла от суммы квадратов переменных состояния, то для этого можно воспользоваться следующей матричной операцией:(11.12) где х есть результат транспонирования матрицы х. Тогда оценку качества можно представить в функции от вектора состояния:Оценка качества общего вида (11.4) включает в себя также управление и, но пока этого делать не будем, оставив для обсуждения в дальнейшем. Теперь в (11.13) мы положим конечное время управления. Для получения минимального значения J будем считать, что существует производная (11.14) где матрица Р нуждается в определении. Чтобы упростить алгебраические преобразования, без потери общности матрицу Р можно выбрать симметричной. Симметричность этой матрицы означает, чтоВыполняя дифференцирование в левой части выражения (11.14), получим:

Подставляя сюда (11.9), запишем: (11.15)

где по правилу транспонирования произведения матриц. Если положить , то (11.15) примет вид:

(11.16) что совпадает с производной, которую мы определили в виде (11.14). Подставляя теперь (11.16) в (11.13), получим:

При подстановке верхнего предела интегрирования мы предполагали, что система устойчива и, следовательно,. Таким образом, чтобы минимизировать оценку качества J, мы должны рассмотреть два уравнения: (11.18) и (11.19) Таким образом, процедура синтеза сводится к двум этапам: 1. Считая матрицу Н известной, определить матрицу Р, удовлетворяющую уравнению (11.19). 2. Минимизировать J, найдя минимум выражения (11.18) путем настройки одного или нескольких параметров системы. Пример 11.5. Обратная связь по состоянию Рассмотрим систему управления, представленную в виде графа на рис. 11.5. Переменные состояния обозначены как х₁ и х₂. Качество этой системы нельзя считать приемлемым, потому что при ступенчатом входном сигнале или при возмущении того же типа реакция системы имеет неограниченно возрастающий характер. Система описывается дифференциальным уравнением (11.20) т.е.

и

Управляющий сигнал выберем в виде линейной комбинации двух переменных состояния: (11.21)

Обратите внимание, что знаки в правой части (11.21) выбраны так, чтобы обратная связь была отрицательной. Тогда (11.20) примет вид:

,

,(11.22)

или, в матричной форме.

(11.23) Заметим, что если речь идет о системе управления положением, то переменная х₁ соответствует положению, передаточная функция системы , где М = 1, а трение считается пренебрежимо малым. Чтобы избежать излишних алгебраических операций, выберем значение

к₁ = 1 и определим к₂ так, чтобы минимизировать оценку качества. Тогда, используя (11.19), запишем:

или (11.24) Произведя умножение и сложение матриц и учитывая, что (матрица Р — симметричная), придем к системе уравнений

(11.25) Эта система имеет следующее решение:

,, Интегральная оценка качества

(11.26) и мы рассмотрим случай, когда в начальный момент времени каждая из переменных состояния имеет отклонение от положения равновесия на 1,т. е.. Тогда (11.26) примет вид:

(11.27) Подставляя в (11.27) элементы матрицы Р, получим:

(11.28) Чтобы найти к₂, соответствующее минимуму J, продифференцируем J по к₂ и приравняем производную нулю:

(11.29) Отсюда и. Минимальное значение J найдем, подставив в (11.28): Матрица Н для скорректированной системы примет вид: .(11.30) Следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы будет равно (11.31) Поскольку система имеет второй порядок, то ее характеристический полином имеет вид , откуда следует, что коэффициент затухания замкнутой системы . Можно считать, что скорректированная система является оптимальной, т. к. оценка качества в ней имеет минимальное значение. Однако следует отдавать отчет в том, что система является оптимальной только при определенном сочетании начальных условий. Граф скорректированной системы изображен на рис. 11.6. Зависимость оценки качества от параметра к₂ приведена на рис. 11.7. Из графика видно, что система обладает малой чувствительностью к изменению к₂

при малых отклонениях этого параметра от оптимального значения. Определим чувствительность оптимальной системы как (11.32) где к — параметр, выбираемый при синтезе. Тогда в нашем случае мы имеем

и(11.33)

Псевдоколичественный метод синтеза системы с обратной связью В количественной теории обратной связи робастность системы управления достигается за счет надлежащего выбора регулятора G_c(s), как показано на рис. 12.31. Цель синтеза при этом заключается в обеспечении широкой полосы пропускания замкнутой системы за счет большого значения коэффициента усиления К. Типичные методы синтеза при этом включают в себя графические и численные процедуры в сочетании с использованием диаграммы Никольса. Обычно количественные методы синтеза систем приводят к необходимости иметь большой коэффициент усиления в контуре и достаточный запас по фазе, которые и должны гарантировать робастность системы. В этом разделе мы обсудим простой метод реализации количественной обратной связи, позволяющий с помощью корневого годографа выбрать коэффициент усиления К и регулятор G_c(s). Этот метод, очень похожий на псевдоколичественный, включает в себя следующие этапы:

1. Разместить на s-плоскости n полюсов и m нулей передаточной функции G(s), имеющей n-ый порядок. Дополнить картину какими-либо полюсами G_c(s).

2. Начиная с области, ближайшей к началу координат, разместить нули G_c(s)непосредственно слева от каждого из (n - 1) полюсов в левой половине s-плоскости. Один полюс должен остаться далеко слева.

3. Увеличить коэффициент К так, чтобы корни характеристического уравнения (полосы передаточной функции замкнутой системы) оказались близко к нулям функции G_cG(s) .

R(s) K G_c(s) G(s) Y(s)

Рис. 12.31 Система с обратной связью

Этот метод позволяет задать нули таким образом, чтобы все ветви корневого годографа кроме одной заканчивались в конечных нулях. Если коэффициент К будет достаточно большим, то полюсы T(s) окажутся почти равными нулям G_cG(s). В результате при разложении T(s) на простые дроби останется практически один член, коэффициент при котором, найденный с помощью вычетов, будет иметь наибольшее значение, и именно этот член будет в основном определять реакцию системы. Ясно, что в этом случае запас по фазе будет приблизительно равен 90° (в действительности около 85°). Пример 12.12. Синтез системы псевдоколичественным методом Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.31, в которой

причем номинальные значения = 1 и = 2, а отклонения этих параметров могут составлять ± 50 %. Худшему случаю соответствуют значения = 0,5 и = 1. Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равнялась нулю. Для решения задачи мы используем ПИД-регулятор с передаточной функцией

Здесь мы воспользовались принципом внутренней модели и включили в состав передаточной функции G_cG(s). Согласно этапу 1 процедуры синтеза разместим на s-плоскости полюсы G_cG(s)., как показано на рис. 12.32. Эти три полюса находятся в точках s = 0, -1, и -2. Согласно этапу 2 один нуль поместим слева от полюса в начале координат, а другой — слева от полюса в точке -1, как показано на рис. 12.32.

Передаточная функция регулятора примет вид: (12.68) Выберем K= 100, чтобы корни характеристического уравнения оказались вблизи нулей. Тогда передаточная функция замкнутой системы будет равна

Рис. 12.32 Корневой годограф для K G_cG(s) Полученная система обладает высоким быстродействием, а запас по фазе в ней приблизительно равен 85°. Основные показатели качества приведены в табл. 12.10 Если взять худший случай (р₁ = 0,5 и р₂ = 1), то, как видно из табл. 12.10, качество системы существенно не изменится. Таким образом, псевдоколичественный метод позволяет синтезировать систему с высокой степенью робастности.

Заключение

Развитие систем управление идет по пути совершенствования их гибкости и обеспечения высокой степени автономности. В достижении этих целей можно наметить два разных пути. Считается, что современный промышленный робот является абсолютно автономным, т.к. будучи изначально запрограммированным, он не требует дальнейшего вмешательство в его работу. Из-за ограниченных возможностей чувствительных органов робототехнические системы обладают недостаточной гибкостью в приспособлении к изменению условий эксплуатации. Это в свою очередь, стимулирует разработку устройств технического зрения. Системы управления обладают достаточной приспосабливаемостью, но лишь при участии человека-оператора. Совершенствование робототехнических систем идет за счет оснащения их чувствительным элементами обратной связи с улучшенными характеристиками. Исследовательские работы в области искусственного интеллекта, датчиков, компьютерного зрения, программирования комплексов компьютеризированного проектирования и производства должны сделать эти системы более универсальными и экономными. Чтобы уменьшить нагрузку на человека-оператора и повысить эффективность его работы, ведутся интенсивные исследования в области супервизорного управления, человеко-машинного интерфейса и управления компьютерными базами данных. Многие исследования одинаково полезны для совершенствования как роботов, так и систем управления; их цель состоит в снижении затрат на изготовление и расширении в области применения. Они связаны также с улучшением методов передачи информации и дальнейшим развитием языков программирования.

Список использованной литературы.

1. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. Пер. с англ. Б.И. Копылова.-М.:Лаборатория Базовых Знаний,2002.-832с.: ил.

2. Основы теории автоматических систем / Я. З. Цыпкин. Изд-во «Наука», М.:1987,560стр.

3. Теория систем автоматического регулирования/В. Л. Бесекерский и Е. П. Попов. Изд-во «Наука», М.:1975 г, 767стр.

4. www.publ.lib.ru

5. www.nglib.ru/