1.6 Определение устойчивости системы по критерию Михайлова

Необходимо, чтобы годограф Михайлова прошел последовательно все

квадранты.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Получим характеристический вектор и выделим в нем вещественную и мнимую части:

Построим годограф Михайлова:

Рисунок 5 – Годограф Михайлова

Из графика видно, что система является неустойчивой, так как годограф Михайлова не проходит последовательно все квадранты, а уходит в бесконечность во втором квадранте.

1.7 Построение переходного процесса системы

Переходная функция - это реакция системы на ступенчатое входное воздействие.

Чтобы построить переходный процесс используем обратное преобразование Лапласа:

Рисунок 6 – Переходная функция системы

Анализируя график, можно судить о том, что полученная линейная система неустойчива. Прямые оценки качества системы определить невозможно.

1.8 Построение амплитудно-частотной характеристики системы

АЧХ строится для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для того, чтобы определить АЧХ системы, необходимо в передаточной функции заменить р на , знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части по формулам определить АЧХ.

Рисунок 7 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определим косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте A(0)=0.145;

- максимальная амплитуда Аmax=0.18;

- резонансная частота - это частота, при которой амплитуда максимальна

- частота среза - это частота, при которой амплитуда равна 0.1

- полоса пропускания – это диапазон частот от до , который определяется при срезе величиной

.

- период колебаний

- показатель колебательности

1.9 Определение запаса устойчивости системы по логарифмической

амплитудно- частотной характеристике и логарифмической

фазо-частотной характеристике

Разомкнем систему для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ.

W₁(p)

W₂(p)

W_кд(p)

W₃(p)

W₄(p)

Рисунок 8 – Структурная схема разомкнутой системы

Запишем общую передаточную функцию:

По данной передаточной функции построим ЛАЧХ и ЛФЧХ

ЛАЧХ и ЛФЧХ изображены на рисунке 9.

По аппроксимированной ЛАЧХ определим передаточную функцию:

Запасы устойчивости по амплитуде и частоте определить невозможно, т.к. система является неустойчивой. Это видно по графикам: ЛАЧХ пересекает нулевую амплитуду, а ЛФЧХ не пересекает

Рисунок 9 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика и логарифмическая фазо-частотная характеристика системы

2 Исследование нелинейной части системы

2.1 Техническое задание

W_гцн1(p)

W_пг1(p)

W_пг2(p)

W_гцн2(p)

Н.Э

W_пг3(p)

W_гцн3(p)

W_пг4(p)

W_гцн4(p)

W_кд(p)

Рисунок 11 – Структурная схема нелинейной системы автоматического регулирования

Графическая характеристика нелинейного звена приведена на рисунке 10.

Рисунок 12 – Релейная статическая характеристика нелинейного элемента

2.2 Упрощение структурной схемы нелинейной системы автоматического регулирования

Применяя правила преобразования структурных схем, упростим схему, изображенную на рисунке 11, преобразовав последовательно-параллельные соединения звеньев:

Разомкнем систему для построения фазового портрета.

W₁(p)

W₂(p)

Н.Э.

W_кд(p)

W₃(p)

W₄(p)

Рисунок 13 – Структурная схема разомкнутой системы

Запишем общую передаточную функцию:

Построим общую структурную схему.

Рисунок 14 – Итоговое преобразование системы автоматического регулирования с нелинейным элементом

3. Построение фазового портрета нелинейной системы автоматического регулирования

Об устойчивости системы будем судить по фазовому портрету. Построение фазового портрета будем вести методом припасовывания. Но, сначала рассмотрим данную нам нелинейную характеристику элемента с ограничениями.

Из рисунка 12 следует следующее:

По определению передаточной функции имеем:

Подставляя в эту формулу значение передаточной функции получим:

В знаменателе данной передаточной функция выражения в шестой степени, то есть характеристическое уравнение линейной части нелинейной САР имеет шестую степень.

Степени больше второй - для более низких частот, оказывают небольшое влияние на систему в целом, поэтому ими можно пренебречь.

Следовательно, можем записать, что:

Приведенную формулу можно записать в виде:

Воспользуемся пакетом MathCad для решения дифференциального уравнения.

Введем замену , исключая из правой части уравнения производную:

Перенесем влево:

Так как в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности, представленной на рисунке 12.Составим систему.

Создадим матрицу для решения уравнения в программе MathCad:

В данной матрице реализовано условие перехода от одного уравнения к другому. Зададим матрицы для трех начальных условий:

Первое начальное условие:

;

Второе начальное условие:

;

Третье начальное условие:

.

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 200, то матрица решений запишется как:

Построим фазовый портрет:

Рисунок 15 – Фазовый портрет нелинейной системы

Построим переходные процессы нелинейной системы.

Рисунок 16 – Переходный процесс нелинейной системы

Вывод: на рисунке 15 представлен фазовый портрет нелинейной системы. Из графика видно, что при различных начальных условиях система будет оставаться устойчивой. С течением времени процесса амплитуда колебаний будет уменьшаться, система придет к устойчивому равновесию – точке (0;0) на рисунке 15, то есть произойдет процесс переключения. Устойчивость системы подтверждает график переходного процесса рисунок 15.