7. Определение устойчивости исходной замкнутой системы. Нахождение граничного коэффициента усиления

Для определения устойчивости исходной замкнутой САР можно воспользоваться любым из известных критериев устойчивости, например, алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить из передаточной функции , приравняв нулю её знаменатель

Коэффициенты этого характеристического уравнения в стандартных для критерия Гурвица обозначениях таковы

Согласно критерию Гурвица для устойчивости системы, заданной некоторым характеристическим уравнением, необходимо и достаточно, чтобы при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения были бы положительны и все главные диагональные миноры. В нашем случае все коэффициенты положительны, проверим знаки миноров.

Так как минор < 0, то система в замкнутом состоянии неустойчива.

Определим граничный коэффициент усиления К_гр, при котором система находится на границе устойчивости. Для этого приравняем нулю минор и из полученного равенства найдём К_гр

Отсюда

Следовательно

<

Итак, исходная замкнутая система неустойчива, поэтому необходим синтез корректирующего устройства.

8. Построение желаемой лачх. Определение устойчивости, расчёт и построение переходной характеристики скорректированной системы

Существует много методов синтеза САР. Мы используем метод В.В.Солодовникова, базирующийся на построении логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной и желаемой систем и получения ЛАЧХ корректирующего устройствав соответствии с выражением

Построим ЛАЧХ исходной системы. Поскольку подобные характеристики строятся для разомкнутых систем, то в дальнейшем нижний индекс “р” в обозначении передаточной функции будем опускать

Этой передаточной функции соответствует амплитудно-фазовая и амплитудно-частотная частотная характеристики

Отсюда выражение для точной ЛАЧХ запишется в виде

Сопрягающие частоты исходной ЛАЧХ находятся следующим образом

Так как передаточная функция исходной разомкнутой системы относится к III типу, то для первого участка асимптотической ЛАЧХ, т.е. для ω< ω_c1=1.43, уравнение асимптоты ЛАЧХ будет

Это уравнение прямой линии с наклоном , проходящей при ω=1c^-1 через точку =55.563 дб.

Дальнейший ход асимптотической ЛАЧХ при увеличении частоты характеризуется тем, что на сопрягающих частотах ω_c1, ω_c2 и ω_c3 происходит изменение наклона характеристики каждый раз на (рисунок 3).

Теперь построим желаемую ЛАЧХ, т.е. ЛАЧХ устойчивой системы, отвечающей заданным требованиям к качеству регулирования.

Определим сначала частоту среза ω _{ср ж} желаемой ЛАЧХ

Из литературы известно, что при заданном перерегулировании = 30% коэффициентb в этой формуле следует выбирать равным b=3.8.

Отсюда получается

Среднечастотный (СЧ) участок проходит через частоту среза с наклоном -20 дб/дек. Известно, что низкочастотный (НЧ) участокпроходит с наклоном (-порядок астатизма, в нашем случае=1) и если исходная система удовлетворяет требованию по точности, то НЧ участокделают совпадающим с НЧ участкомL_исх (ω). Поэтому в нашем случае НЧ участки иL_исх (ω) совпадают.

Зная запас устойчивости по амплитуде можно определить протяжённость среднечастотной асимптоты при синтезе САУ. Например, для систем с астатизмом первого порядка запас устойчивости по амплитуде в отрицательной области ΔL₂ будет по модулю равен запасу устойчивости ΔL₁ в положительной области. ΔL₁ = |ΔL₂|

Рисунок 4 - Диаграмма Солодовникова для определения запасов устойчивости

По заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования. в соответствии с номограммами предложенными Солодовниковым В.В. выбираем запасы устойчивости по модулюи по фазе.

Выбираем .

На оси ординат отметим точки с координатами , через которые проведем пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией.

Частоты, которым соответствуют точки пересечения прямых, определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (рисунок 5, это и ).

Вычислим нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона, для этого заметим, что составляет12.8 дБ, а, тогда получаем, что:

Отметим, что ,.

Среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ сопрягаем с низкочастотной и высокочастотной асимптотами.

Высокочастотный (ВЧ) участок ЛАЧХ мало влияет на динамику САР, поэтому для обеспечения простоты корректирующего устройства ВЧ участок проводят либо параллельно ВЧ участкуL_исх (ω), либо совпадающим с ним.

Определим добротность желаемой системы:

Построенная таким образом асимптотическая представлена на рисунке 4. Передаточная функция разомкнутой скорректированной (желаемой) системы может быть, исходя из, записана следующим образом:

(1)

Желаемая замкнутая САР будет характеризоваться передаточной функцией

Прежде чем рассчитывать корректирующее устройство, определим сначала, устойчивой ли получилась скорректированная (желаемая) система и удовлетворяет ли она заданным требованиям к качеству регулирования. Поскольку уже построена , устойчивость замкнутой скорректированной системы удобнее оценить с помощью логарифмического критерия.

Базируясь на передаточную функцию разомкнутой скорректированной САР (1), найдём фазовую частотную характеристику этой системы

На частоте среза получим

При этом запас устойчивости по фазе будет

значит, желаемая САР в замкнутом состоянии устойчива.

Для проверки соответствия показателей качества регулирования спроектированной (желаемой) системы заданным требованиям построим переходную характеристику замкнутой желаемой САР Эту характеристику можно получить различными способами, мы сейчас остановимся на хорошо известном из курса ТАУ методе, опирающемся на нахождении обратного преобразования Лапласа выражения

В нашем случае

(2)

представляет собой сложное дробно-рациональное выражение, которое надо представить суммой простых дробей.

(3)

Переходная характеристика замкнутой желаемой системы найдётся, если к этому выражению применить обратное преобразование Лапласа

(4)

Теперь, задаваясь рядом фиксированных значений t_i, получим из (4) и построим график (рисунок 6), из которого найдём время регулированияи величину перерегулированияσ скорректированной системы.

Таблица 2

Рисунок 6 - График переходной характеристики скорректированной замкнутой системы

Из таблицы видно, что , т.е. время, после которого переходный процессне выйдет из коридора, составляет приблизительнос, что удовлетворяет заданию (с).

Максимальное значение =0.996, значит перерегулирование будет равно, что удовлетворяет заданию (σ ≤30%).

Таким образом, скорректированная система устойчива и удовлетворяет поставленным требованиям к качеству регулирования.