2.3. Выбор передаточного отношения редуктора

Длительность переходных процессов в первую очередь зави­сит от механической инерции. С увеличением момента инерции она возрастает, однако приведенный момент инерции У зависит не только от реальных масс в системе двигатель - рабочая маши­на, но и от передаточного отношения редуктора, связывающего двигатель с рабочей машиной:

Здесь J_д - момент инерции двигателя; J_мех- момент инерции ра­бочей машины; δ - коэффициент, учитывающий инерционные элементы механической передачи, связанные с осью двигателя; j - передаточное отношение редуктора.

Следует выяснить, при каком передаточном отношении ре­дуктора длительность переходных процессов будет минималь­ной. Согласно (2.2), длительность процесса разгона двигателя

Соответственно для торможения будем иметь

Для позиционной системы и с некоторым допущением для следящего привода характерна трапецеидальная диаграмма скорости (см. рис. 2.5). Так как

где α_мех - путь, проходимый рабочим органом механизма, или дистанция, подлежащая отработке, то

Отсюда следует, что отрабатываемый путь графически пред­ставляет собой площадь трапеции. Для минимизации времени отработки задания должна быть до возможного предела умень­шена длительность разгона и торможения. На среднем, рабочем участке электродвигатель вращается с расчетной скоростью.

Следует отметить, что для повышения быстродействия целесообразно иметь передаточное отношение редуктора не­сколько меньше, чем определяемое из условия обеспечения установившейся скорости механизма при номинальной скоро­сти двигателя. При этом двигатель в процессе работы не дости­гает номинальной скорости и может работать по треугольному графику.

Суммарная длительность переходных режимов разгона и торможения может быть представлена как

Для определения условий обеспечения минимума длительно­сти переходных процессов возьмем производную от t_п.п по j и приравняем ее нулю

Отрицательные знаки в полученном выражении исключены, так как передаточное отношение не может быть отрицательным.

Пренебрегая моментом механизма, т. е. полагая μ = 0, приходим к упрощенному выражению

которое часто приводится в учебных пособиях. Следует иметь в виду, что это выражение иногда дает искаженные результаты, так как хотя приведенный статический момент M_c, в следящих системах обычно составляет не более 20-25% от номинального момента двигателя, величина момента М_мех, отнесенная к оси самого механизма, может во много раз превышать M_д.ном и соответственно μ² может быть соизмеримо с ξ.

Графики оптимального передаточного отношения редукто­ра представлены на рис. 2.9. Эти кривые могут быть использова­ны для расчета редуктора в следящих системах. Как видно из рисунка, крутизна кривых невелика и, следовательно, даже, существенное отклонение j от расчетного значения не должно приводить к заметному увеличению времени отработки пере­мещения в следящем приводе.

Зависимость оптимального передаточного отношения от со­отношения моментов μ представлена на рис. 2.10. Этот рисунок подтверждает необходимость учета статического момента.

Следует иметь в виду [30], что аналогичную форму имеют и характеристики передаточного отношения редуктора, оптималь­ного по обеспечению минимума нагрева двигателя (рис. 2.11). При их построении принято αM_д.ном /J_дω²_мax = 1000, где α - площадь трапеции. Интересно, что, полагая μ = 0, и в этом случае выражение для j_опт. приводится к виду (2.26).

Рис. 2.9. Зависимость оптимального по быстродействию передаточного

отношения редуктора от соотношения моментов инерции механизма

и двигателя для случая трапецеидального графика скорости

В некоторых случаях с целью уменьшения потерь в якоре двигателя используют не трапецеидальную диаграмму скорости, а параболическую (рис.2.12); при этом снижаются потери и возможна экономия энергии, однако при параболическом законе возникают чрезмерные пики тока в начале и конце процесса отработки пути.

Рис. 2.10. Зависимость оптимального по быстродействию передаточ­ного отношения редуктора от относительного статического момента на валу механизма

Рис. 2.11. Зависимость оптимального (минимального) по нагреву двига­теля передаточного отношения редуктора от соотношения моментов инерции механизма и двигателя

При параболическом изменении скорости ток и момент из­меняются по линейному закону и уравнение движения имеет вид

где М_мах - момент двигателя в начале и конце процесса; t_ц - дли­тельность цикла.

Рис. 2.12. Параболический график скорости отработки заданного пере­мещения и соответствующая диаграмма тока якоря

Отсюда

Следует иметь в виду, что допустимая по перегрузочной спо­собности двигателя величина М_мах ограничивает возможные ускорения в системе.

Приравнивая производную от скорости по времени нулю, можно найти время достижения максимума скорости:

Выражение для скорости получим, интегрируя уравнение (2.28) в пределах от 0 до t_ц. При этом найдем

Максимальное значение скорости определим, подставив t_мах из (2.29)

Далее необходимо найти путь, проходимый за один цикл t_ц

Путь, проходимый рабочим органом механизма, будет

α_мех = α/j (2.33)

Подставим в (2.32) выражения для момента инерции системы (2.20) и момента статического сопротивления на оси механизма M_мех = M_cj. При этом будем иметь

откуда

Введем относительные величины

Чтобы найти оптимальное значение передаточного отноше­ния редуктора, обеспечивающего минимум длительности пере­ходных процессов, возьмем производную от t_ц по j. При этом получим

Отсюда условие минимума

Соответственно оптимальное значение передаточного отно­шения будет

Построенные согласно этому выражению кривые представ­лены на рис. 2.13.

Приняв условие μ = 0, вновь получим выражение (2.26):

Как следует из рис. 2.13, в пределах малых значений ξ (ξ ≤ 100) величина оптимального по быстродействию передаточного отношения редуктора практически остается неизменной и зависит только от величины статического момента. В первом приближении при ξ = 0, как следует из (2.39), j_oпт = 6μ.

Полученные выражения (2.25), (2.39) для оптимального пере­даточного отношения редуктора позволяют учесть влияние по­стоянного статического момента М_с на оси механизма. Однако они не обеспечивают должной точности определения j_опт, так как наличие М_с приводит к деформации скоростной диаграммы.

Рис. 2.13. Зависимость оптимального по быстродействию передаточно­го отношения редуктора от соотношения моментов инерции механизма и двигателя для случая параболической диаграммы скорости

Как следует из (2.29), время достижения максимума скорости становится отличным от t_ц/2. При треугольной диаграмме, как следует из выражений (2.21) и (2.24),

Следовательно, при учете М_с вершина треугольника смеща­ется в сторону больших значений t.

При конструировании редукторов, соединяющих двигатель с объектом управления, следует избегать элементов механиче­ской передачи с самоторможением, как, например, червячных пар. В тормозном режиме при изменении направления потока энергии за счет активного статического момента на оси механиз­ма или при наличии момента инерции механизма, превыша­ющего момент инерции двигателя, возможно заклинивание механической передачи.

В современных следящих системах наряду с двигателями, питаемыми от управляемых выпрямителей или ШИП, и с асин­хронными двигателями с частотным управлением достаточно широкое применение еще находят двухфазные двигатели. Каче­ственные показатели таких систем - точность отработки задания, быстродействие и другие - хуже. Однако они отлича­ются простотой, высокой надежностью, конструктивными преимуществами и т. д. Питание обмотки управления осуществляется от простейшего дифференциального транзисторного или магнитного усилителя. В связи с этим применение их в на­стоящее время еще достаточно широко. Для повышения быстро­действия двухфазные двигатели обычно имеют критическое скольжение, близкое к 1, как среднее значение оптимальной величины для разгона и торможения противовключением [6,30]:

s_k = (0,41 + 1,47)/2 = 0,94 ≈ 1.

При этом механические характеристики имеют вид, показан­ный на рис.

Рис. 2.14. Механическая характеристика двухфазного асинхронного двигателя при s = 1 и аппроксимации ее отрезками прямых

Для исследования динамики поведения привода и оценки длительности процессов разгона и торможения характеристики двухфазного двигателя без внесения большой погрешности мо­гут быть аппроксимированы двумя прямыми, соответствующи­ми разгону и торможению. При этом длительность процессов на этих двух участках может быть оценена формулой с лога­рифмической зависимостью [16] вида

Здесь J - суммарный момент инерции всей электромеханической системы, ω₁ и ω₂ - начальная и конечная скорости на концах отрезка характеристики (для пуска 0 и ω_к), М_дин1 и М_дин2 - соответствующие им значения динамического момента (для пуска М_дин1 = М_мах — М_с и М_дин2 = М_с — М_к, где М_к — момент при скорости переключения, т. е. при переходе в тормозной режим). Суммарная длительность перемещения при отработке скачко­образного сигнала будет

где t_p - длительность разгона; t_т - длительность торможения. Участки переходных характеристик будут иметь вид экспонен­циальных функций.

Рис. 2.15. Переходные характеристики двухфазного двигателя

Характер процесса при задании линейно нарастающей ско­рости показан на рис. 2.15, причем α_р и α_т - пути, проходимые на участках процесса. Представленные переходные характери­стики относятся к режиму, приближающемуся к треугольному. При отработке больших дистанций будет третий дополнитель­ный участок, соответствующий режиму постоянной скорости.

Для минимизации длительности процесса в системе с двух­фазным двигателем также следует выбирать оптимальное по ве­личине передаточное отношение редуктора [19]. На основе анализа фазовых траекторий при характеристиках, приближа­ющихся к треугольным [19], было получено следующее выраже­ние для оптимального по быстродействию передаточного отно­шения редуктора:

Рис. 2.16. График зависимости G =ƒ(к) в логарифмическом масштабе

При к = 0 выражение для G становится равным 1. Подставив G = 1 в (2.41), получим упрощенную формулу

которая имеет такой же вид, как в ряде рассмотренных выше случаев нахождения j_опт.

Заметим, что при выборе передаточного отношения редук­тора следует также учитывать влияние j на конструктивные осо­бенности механической передачи, на возможность возникнове­ния зазоров в зацеплениях и прочее.