лекции / Лекции / 17.Свойства ДПЛ. Предельное значение оригинала

Предельное значение оригинала

Теорема 11. Если решетчатая функция является оригиналом, при чем изображение ее первой разности является аналитической функцией правой полуплоскости и на мнимой оси, то справедливо равенство:

(1)

Где .

Доказательство:

Воспользуемся соотношением:

Откуда следует, что:

Если ряд, стоящий в правой части, сходится.

Рассмотрим изображение первой разности функции :

По условию теоремы, это изображение является аналитической функцией правой полуплоскости и на мнимой оси. Следовательно, она является непрерывной функцией в указанной области, и предел изображения функции при равен сумме соответствующего ряда при . То есть справедливо равенство:

Теорема доказана.