Дискретное преобразование Лапласа
(1)
где
- дискретная комплексная переменная,
- оригинал,
-
изображения.
Дискретное преобразование Лапласа устанавливает связь между действительной функцией действительного переменного и функцией комплексного переменного.
Здесь также рассматривается преобразование от смещенной функции:
(2)
Также и Z-преобразование,
которое получается из формул (1) и (2) при
:
(3)
(4)
Если известно изображение
некоторой
дискретной функции
,
то соответствующее изображение
может
быть найдено с помощью замены комплексной
переменной q по формуле:
Аналогично можно определить
по
заданной функции
и
по
функции
:
Таким образом принципиальной разницы
между дискретным преобразованием и
Z-преобразованием не
существует. Это значит, что все свойства
Z-преобразования могут
быть получены из соответствующих свойств
дискретного преобразования Лапласа.
Следует отметить, что ряд (1) сходится
абсолютно в каждой точке полуплоскости,
если
,
и расходится, если
,
где
- логарифм верхнего предела:
Следовательно,
- абсцисса абсолютной сходимости.
Таким образом, область сходимости
дискретного преобразования Лапласа
расположена справа от прямой, где
.
По аналогии с непрерывном преобразованием
Лапласа функцию
,
которая равна нулю при k<0
и удовлетворяет, при
,
неравенству:
(5)
В неравенстве (5)
и
,
то есть положительны действительные
числа. Величина
- показатель роста функции
.
Непосредственно из определения
дискретного преобразования Лапласа
следует, что функция
является
периодической функцией вдоль мнимой
оси плоскости q с периодом
.
Это следует из:
(6)
Где r – любое целое число.
Поэтому все свойства
рассмотрим
в любой полосе величиной
,
где действительная часть q
удовлетворяет условию:
Как правило рассматривается полоса:
Эта полоса симметрична относительно действительной оси. Эта полоса называется основной.
Дискретное преобразование Лапласа
определяет аналитическую функцию
в основной полосе, за исключением
конечного числа особых точек. Это, как
правило, полюса функции
.
Если все особые точки определены внутри основной полосы, то все остальные особые точки равны:
Все основные точки определены с помощью равенства:
Рассмотрим как связаны между собой области определения дискретного преобразования Лапласа в плоскости комплексного переменного q и Z-преобразования в плоскости комплексного переменного z.
Преобразование комплексного переменного
q по формуле
переводит основную полосу в плоскости
q на всю расширенную
плоскость комплексного переменного z.
При этом отрезок мнимой оси (
)
отобразится в окружность единичного
радиуса, где
изменяется
от
до
.
Левая полоса плоскости q
отобразится
внутри единичного круга, при
.
А правая полоса
-
во внешность этого круга.
Особые точки
изображения
при
отображении с помощью экспоненциальной
функции
перейдут
в особые точки
,
которые лежат внутри круга.