Описание элементов систем автоматического регулирования во временной и частотной областях.

Для оценки работы САУ в целом и отдельных ее звеньев применяют в качестве входных тестовых сигналов используют следующие виды воздействия:

1. Единичный ступенчатый сигнал.

2. Импульсная (дельта) - функция.

3. Гармоническое воздействие.

Единичный ступенчатый сигнал.

Формально этот сигнал определяется так:

Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t):

При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

Ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную характеристику можно снять экспериментально.

Импульсная - функция.

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ(t) . Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0 , где он уходит к бесконечность, при чем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрелкой, высота которой равна единице (см. рисунок г).

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t , кроме нуля, где она обращается в бесконечность. Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикой и обозначается w(t):

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

Гармоническое воздействие.

В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определять реакцию на периодические сигналы, то есть определять сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодический сигнал синусоидальной формы. Решение этой задачи можно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным и аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик, исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.

2. Частотная передаточная функция

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму

Для нахождения соотношения между входными и выходными сигналами можно воспользоваться передаточной функцией, из которой формальной заменой на получаем обобщенную частотную характеристику

которая является комплексным выражением, то есть:

Где действительная часть, а - мнимая часть.

Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

Где модуль, а – аргумент частотной передаточной функции.

Функция , представлена при изменении частоты от 0 до бесконечности, получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).

Функция , представленная при изменении частоты от 0 до бесконечности, называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

2. Амплитудно-фазовая характеристика или годограф.

Амплитудно-фазовая характеристика или годограф Найквиста это графическое отображение для всего спектра частот отношения выходного сигнала САУ к входному сигналу в комплексной форме. Частотная передаточная функция может быть представлена на комплексной площади. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до бесконечности происходит определение вектора на комплексной плоскости, и строиться годограф вектора. Годограф будет представлять собой амплитудно-фазово-частотную характеристику (АФЧХ). Таким образом, для определенной частоты мы имеем вектор на комплексной площади, который характеризуется модулем М и аргументом . Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала относительного входного. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляет вращение вектора на комплексной площади по часовой стрелке относительно положительной оси. А положительный фазовый сдвиг - против часовой стрелки. Пример такой характеристики показан на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 график отображения амплитудно-фазовой характеристики АФХ или годографа Найквиста.

Из АФХ порождаются все остальные частотные зависимости:

– вещественная частотная характеристика

– мнимая частотная характеристика

– амплитудно-частотная характеристика АЧХ

– фазово-частотная характеристика ФЧХ

Наиболее часто применяются ЛАЧХ и ЛФЧХ.

2. Логарифмические частотные характеристики

Для упрощения графического представления частотных характеристик, а так же для облегчения анализа процессов в частотной области используется логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазово-частотная характеристика (ЛФЧХ). Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях их строить практически без вычислений. При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо откладывается а единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, который соответствует изменению частоты в 10 раз. При построении ЛАЧХ по оси ординат единицей измерения является децибел, который представляет собой соотношение . Для ЛФЧХ на оси ординат откладывают углы в натуральном масштабе. Примеры логарифмических частотных характеристики, представленные на рисунке 4.2 и 4.3.