Иллюстрация метода на примере решения задачи
“оптимального управления движением поезда”
Следуя по расписанию в t2 оказываемся в В.
Критерий оптимальности – расход электроэнергии или топлива.
Управление
– Пк.
Надо подобрать такую комбинацию Пк(S),
чтобы обеспечить выполнение
.
t – должно быть соблюдено по расписанию.
На
каждом отрезке
считается, что Пк(S)
=
const и
ik(S)
= const.
Ось V тоже делим на отрезки. Получаем сетку.
На последнем участке траектории ставим своё управление. Если имеются разные траектории и они попали в один дискрет по скорости, то мы одну из них отбрасываем – ту, которой соответствует min критерия оптимальности, оставляем.
На (N-2)-ом участке, каждой точке, соответствующей концу (N-2)-го участка, соответствуют различные траектории, для которых имеется своё оптимальное управление. Из всего множества траекторий число их в общем случае будем сокращать за счёт попадания в дискрет по скорости, не соответствующего критерию оптимальности.
Рассматривая подобным образом растущее от шага к шагу множество траекторий и исключая нежелательные, мы имеем условно оптимальное управление.
Рассмотрим динамику системы, описываемыми линейными разностными уравнениями вида (1).
(1)
Критерий оптимальности является аддитивным.
(2)
Оптимальное управление должно обеспечивать минимизацию критерия оптимальности (2) на каждом из временных интервалов и оставаясь на каждом отрезке постоянным.
По существу критерий оптимальности является функцией многих переменных.
Рассмотрим построение оптимального управления в последовательности от конца к началу.
N-1 шаг
(3)
В
память машины заносим
и
N-2 шаг
(4)
С учётом (1) :
(5)
(6)
В память машины (со стиранием предыдущих) записываем :
и
и т.д. …
(7)
Для
каждого
запоминаем :
и
Все остальные предыдущие можно стереть.
Последний 0-ой шаг
(8)
Получили значения всего критерия оптимальности.
Записываем :
и
Теперь записываем оптимальное управление от начала :
ГРАФ
Траектория оптимального маршрута зависит от начальной точки.
Задача управления взлётом самолёта по критерию минимума затрат горючего.
Аналитическое конструирование
оптимальных регуляторов
Динамика системы описывается линейными дифференциальными уравнениями.
мера работ мера работ, выполняемая
самой системы,
органами управления,
r > 0
, где
r – весовой коэффициент.
Минимизация критерия в неявной форме не позволяет сделать большим управление.
Метод, изобретенный Лётовым, справедлив для систем, управляемых и наблюдаемых и тогда решение существует и единственно и выражается в том, что необходимо решить уравнение Реккати, связанное с нахождением неизвестных коэффициентов закона управления, имеющего вид :
находятся как :
(1)
(2) - уравнение Реккати
- матрица неизвестных коэффициентов
- критерий Сильвестра
Уравнение Реккати в работе Репина и Третьякова было сведено к решению дифференциальных уравнений, которые решаемы на АВМ.
Пример :
,
,
U
Трудность метода : при постановке оптимального регулятора в реальную нелинейную систему необходима проверка, т.к. синтез проводился для линеаризованных систем, а исходная система была нелинейной.
От задачи АКОР в общем случае можно перейти к задаче математического программирования.