Задача оптимального управления консервативным объектом (задача крановщика)

Необходимо перенести груз из одного места в другое и при этом не раскачивая его.

Общая постановка задач оптимального управления

, ,

Нам необходимо получить соответствующий закон на выходе управляющего устройства.

Так подобрать , чтобы было при ограничениях и условиях и .

Методы расчёта оптимального управления

1. Вариационное исчисление

2. Принцип максимума Понтрягина

3. Динамическое программирование Ричарда Белмана

4. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов

5. Нелинейное программирование

1. Вариационное исчисление

I3 I2 I1

y(x)

δ=max

Из всех кривых выбрать такую, чтобы как можно дальше и быстрее катиться.

x(t)

1-5%

tр

у1 y(x)+δy(x)

у0

x0 x1

- уравнение Эйлера-Лагранжа

это необходимое и достаточное условие экстремума !

Найдем кратчайшее расстояние между двумя точками:

dS В

∆у

у(х)

А

х0 ∆х х1

здесь числитель = 0

или знаменатель к бесконечности

Это была решена задача на безусловный экстремум.

Это нереальная задача.

Обсуждение уравнения Эйлера-Лагранжа

Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа – 2-го порядка.

Условия Лежандра: показывают, добились ли мы min или max функционала.

Задача с ограничением типа равенства

Формируется функция Лагранжа:

,

где - неопределенный множитель Лагранжа.

Изопериметрическая задача

1 2 3 4 5 6

Р = const

Из всех рассмотренных участков надо выбрать один с максимальной площадью.

(1)

(2) - ограничение

Здесь j=1…m

Bj – число

таких ограничений m

Задача : найти (1) при ограничении типа (2).

Образуется функция Лагранжа:

Уравнение Эйлера-Лагранжа: (3)

Неизвестные: y(x) , , j=1…m

Для нахождения неизвестных используем уравнение Эйлера-Лагранжа (3) и m условий изопериметрического вида (2).

Пример: на оптимальную экономичность ( min потерь – задача типа 3 )

Уравнение Эйлера-Лагранжа:

Неизвестные:

(4)

(5)

Из (4) и (5) получим:

Оптимальное управление имеет вид:

Если взять любое другое

управление, то потери будут

больше.

T/2 T t

-

y*(t)

α0

В озьмем другое управление: u*

a

T/2 T t

-a

y(t)

α0

T/2 T t

Пример: задача типа 1 (на max быстродействие)

Краевые условия:

Форма оптимального процесса в этой задаче аналогична предыдущей задаче.

Аналогичный вывод можно сделать и в отношении max производительности (задача 2).